# 6.7 Toepassingen

In de volgende oefeningen moet je gebruik maken van de theorie die je zojuist hebt geleerd. De opgaven moet je in een apart werkdocument maken dat je hier kunt vinden: werkdocument_II_Kepler.

Werkdocument II Kepler

Opdrachten waarneming S2

Opdracht 20: waarneming S2

Toepassingen van de eerste wet van Kepler
Om de baan van een ster rond het centrum van de Melkweg te bepalen, moeten er veel problemen opgelost worden. Het is zeer moeilijk om sterren in de buurt van het centrum van de Melkweg waar te nemen doordat er grote hoeveelheden sterren, gaswolken en stof tussen de Aarde en het midden van de Melkweg zitten.
Hierdoor wordt het waargenomen beeld mistig. Je probeert als het ware om 's nachts door een bewolkte lucht naar de sterren te kijken. Met zichtbaar licht is dit niet of nauwelijks mogelijk. Infrarood licht heeft een grotere golflengte dan zichtbaar licht. Hierdoor wordt infrarood licht minder tegengehouden door de (gas)wolken in onze Melkweg. Zo kan het infrarode licht vanuit het centrum van de Melkweg ons gewoon bereiken. Op foto's van het centrum van de Melkweg, genomen op achtereenvolgende tijden, is te zien dat de sterren in de buurt van het centrum zich verplaatsen. Een probleem bij het bepalen van de baan van een ster om het centrum van de Melkweg is de omlooptijd. Zo is de omlooptijd van de Zon om het centrum van de Melkweg ongeveer 230 miljoen jaar. In een mensenleven kun je dus maar een heel klein stukje echt meten.

Een infrarood foto van het centrum van de Melkweg. De twee pijltjes in het midden markeren de positie van zwart gat kandidaat Sagittarius A* in het centrum van de Melkweg. De onderste gele balk geeft de hoekafstand van 1 lichtjaar (ongeveer 8 boogseconden) aan.
bron: ESO, European Organization for Astronomical Research in the Southern Hemisphere

De rest moet je via berekeningen bepalen. Eén ster in het bijzonder, genaamd S2, heeft een veel kortere omlooptijd om het centrum van de Melkweg. S2 heeft namelijk een omlooptijd van minder dan 16 jaar waardoor het wél mogelijk is om een volledige rondgang te meten. De baan van S2 en nog enkele andere sterren in de buurt van SgrA* kun je zien in het volgende filmpje.

klik hier voor film

Opdracht 20 In je werkdocument_Kepler vind je een spreadsheet met de coördinaten van S2. Met deze coördinaten kun je de halve lange as a van de ster bepalen. Maak de volledige opdracht 20 in het werkdocument. Sla dit weer op op een USB stick of op je mail zodat je het later aan kunt vullen.

Opdracht perkenwet

Opdracht 21: Perkenwet

Maak de volgende vragen weer in je Werkdocument_Kepler.

Werkdocument II Kepler

De tweede wet van Kepler
In de vorige opdracht heb je de halve lange as van een ellips bepaald. In onderstaande animatie gaan we kijken wat nu de invloed is van de halve lange as op de baan van een planeet. Door de halve lange as te wijzigen kunnen we de planeet een andere baan om (in dit geval) de zon geven.

In onderstaande animatie kun je de waarde van de halve lange as variëen van 0.5 AE tot en met 1.5 AE. Vul een willekeurige waarden tussen de 0.5 en 1.5 in en klik daarna op het 'start'knopje om de planeet in de baan te laten lopen. Houd de snelheid nog even op 20 km/s. Kijk wat er gebeurt bij de verschillende waardes voor de halve lange as.

Opdracht 21

Kies een waarde voor de halve lange as, waar je de rest van de opdracht mee gaat werken. Kies nu een snelheid tussen de 6 en 35 km/s. Je zult zien dat niet alle snelheden bij alle waardes voor de halve lange as in de animatie passen. Dat geeft de animatie aan. Kies in dat geval een nieuwe waarde voor de snelheid. Als je een snelheid hebt gevonden, waarbij de animatie loopt, noteer je de waarden in je werkdocument. Geef je planeet een naam en noteer deze naam ook in je werkdocument.

Terwijl je planeet rustig in zijn baan om de zon circuleert, kunnen we een aantal metingen verrichten. Met deze animatie kunnen we het verband tussen de tijd en het oppervlak die een planeet in de baan aflegt bekijken. Hoe verzamel je je meetpunten:

- Klik op een willekeurig punt op de pauzeknop.
- Klik vervolgens op de 'M'-knop om je beginpunt vast te stellen.
- Laat de animatie verder lopen door op de 'start'knop te klikken.
- Om je metingen te laten eindigen klik je weer op de 'M'knop.
- Je ziet nu het volgende verschijnen:

In het beeld zie je het oppervlak dat de planeet heeft afgelegd paars kleuren (zie Figuur 1). Door weer op de 'M'-knop te klikken worden de waarden vastgelegd. In je animatie zie je rechts een scherm verschijnen met daarin de waarden voor de tijdsduur en de oppervlakte.

Oefen dit nu eerst een paar keer.
Als je goed met de animatie overweg kan, kun je nu je meetwaarden gaan verzamelen. Verzamel 10 meetpunten, waarin je zo veel mogelijk probeert te variëren in de tijdsduur en oppervlakte. Wanneer je 10 meetwaarden hebt kun je je gegevens exporteren naar Excel door op de 'S'-knop te klikken. Een nieuw scherm opent zich met jouw waarden erin. Kopieer deze waarden naar je werkdocument en maak daar de opdracht verder af.

Opdracht derde wet van Kepler

Opdracht 22: Derde wet van Kepler

Maak de volgende opdracht weer in je Werkdocument_Kepler

Werkdocument II Kepler

Je hebt gezien dat het verband tussen de omlooptijd en het oppervlak binnen de ellips dat een planeet daarbij aflegt een constante is. In onderstaande opdracht gaan we kijken naar het verband tussen de grootte van de halve lange as en de omlooptijd. Door de grootte van de halve lange as te veranderen, kunnen we de planeet een grotere of kleinere baan om (in dit geval) de zon geven.

In onderstaande animatie kun je de waarde van de halve lange as variëren van 0.3 AE tot en met 1.7 AE. Vul een willekeurige waarden tussen de 0.3 en 1.7 in. De excentriciteit (De excentriciteit kan gezien worden als de mate waarin een baan afwijkt van een cirkel) kun je variëren van 0 tot 0.7.
Kies een waarde voor de excentriciteit en vul een willekeurige waarde voor de halve lange as. Kijk wat er gebeurt, door op het startknopje te klikken. Doe hetzelfe bij een vaste waarde voor de halve lange as en willekeurige waarden voor de excentriciteit.

Opdracht 22 Zo verzamel je meetpunten: Kies een waarde voor de excentriciteit. Deze waarde laat je de gehele meting constant. Kies een willekeurige waarde voor de halve lange as. Klik op de 'start'knop en de animatie begint te lopen Klik op een willekeurig moment op de 'M'-knop om de omlooptijd van de planeet te bepalen. De omlooptijd wordt weergegeven in de tijd die de planeet erover doet om één ronde af te leggen. Het maakt daarom niet uit op welk moment je op de 'M'-knop klikt. Kies een andere waarde voor de halve lange as, laat de waarde van de excentriciteit hetzelfde en laat je planeet nog een keer bewegen. Laat de animatie ook bij deze waarde een berekening doen van de omlooptijd. Verzamel 10 meetpunten, waarin je varieert in de waarde van de halve lange as. Laat de waarde van de excentriciteit gelijk! Wanneer je 10 meetwaarden hebt kun je je gegevens exporteren naar Excel door op de 'S'-knop te klikken. Een nieuw scherm opent zich met jouw waarden erin. Kopieer deze waarden naar je werkdocument en maak daar de opdracht verder af. Je kunt als je wilt nog een keer tien meetwaarden verzamelen bij een andere excentricitiet. Verander hiertoe de excentriciteit éénmaal en meet weer tien omlooptijden bij verschillende waarden voor de halve lange as.

Opdracht massa

Opdracht 23: Massa

Nu is de omlooptijd niet zuiver en alleen afhankelijk van de grootte van de halve lange as. Ook de massa van de planeet en van het hemellichaam waar de planeet om draait speelt een belangrijke rol. Daar ga je in de opdracht Planeten in het programma Coach meer over leren. Maak de opdrachten weer in je werkdocument_Kepler.

Opdracht 23

Download nu eerst het Coach programma en installeer het op je computer: Planeten.exe

Ons zonnestelsel bestaat uit acht planeten. Vanaf de zon gezien zijn het Mercurius, Venus, Aarde, Mars, Jupiter, Saturnus, Uranus en Neptunus. Pluto heeft tegenwoordig de status van dwergplaneet. De planeten bewegen in ellipsen rond de zon, maar deze ellipsen zijn bijna cirkels. Hoe verder een planeet van de Zon staat, hoe langer zijn omlooptijd is. In deze activiteit onderzoek je het precieze verband tussen omlooptijd en baanstraal van een planeet.

Planeetgegevens

* Open Coach en kies het project ‘Planeten’.
* Open de activiteit ‘Planeetgegevens’.

De afbeelding hieronder laat het wereldbeeld volgens Aristoteles zien.

a. Beschrijf zoveel mogelijk verschillen met het huidige wereldbeeld.

* Bekijk bron 1: “Informatie over Johannes Kepler en zijn wetten”.
Beantwoord daarna onderstaande vragen.

b. Wat bedoelen we met de retrograde beweging van planeten?
c. Wat wordt bedoeld met de eerste wet van Kepler?
d. Hoe luidt de tweede wet van Kepler?

In 1619 kwam Johannes Kepler met het antwoord.In wiskundige vorm luidt dat antwoord:

T2/R3=constant
Dit is de derde wet van Kepler. T is de omlooptijd en R de baanstraal.

e. Je hebt gelezen dat T²/R³ = een constante. Bereken die constante. Gebruik de gegevens uit de tabel met planeetgegevens.
f. Welke twee planeten bevinden zich 'naast' de Aarde?
g. Men vermoedt dat de tiende planeet een baanstraal heeft van 60 AE. Bereken die afstand in miljoenen kilometers.
h. Bereken de omlooptijd van die tiende planeet.
i. Bereken de afstand van de planeet die het dichtst bij de Zon staat. Druk die afstand uit in miljoenen kilometer.

De derde wet van Kepler

In deze activiteit onderzoek je het volgende verband:

T2/R3=constant

In de vorige activiteit heb je echter al ontdekt dat die constante gelijk is aan 1, omdat we T en R uitdrukken in aardse eenheden.
Dus we kunnen schrijven:

T=R3/2
Voor Mars geldt R = 1,524 (zie eventueel de activiteit 'Planeetgegevens').

* Controleer dat de omlooptijd van Mars gelijk is aan 1,881.
* Controleer het verband T = R^(3/2) voor een andere planeet.
* Open het modelvenster.

Je ziet het wiskundige model voor de derde wet van Kepler. Op welke regel vind je bovenstaand verband terug?

* Sluit het modelvenster.
* Start het model.

De grafiek geeft het verband tussen de omlooptijd T en de baanstraal R van een planeet.
In de activiteit: "Planeetgegevens" heb je een grafiek van de planeetgegevens gemaakt. Dat resultaat heb je bewaard.

* Importeer het resultaat in de modelgrafiek. Kies als lijnsoort ‘geen’ en als symbool ‘Kruis’.

j. Komen de planeetgegevens overeen met de grafiek van het model? Waarom wel of niet?

Voor die constante is natuurlijk wel een getal bekend. Dat is het volgende:

T2/R3=4π2/GM

G is de gravitatieconstante, M is de massa van de zon. Het belang van de wet van Kepler zit erin dat je door twee dingen te meten van afstand (namelijk de omlooptijd en de straal van de planeten), je de massa van de zon kunt achterhalen

k. Bereken de massa van zon.
l. Had het iets uitgemaakt als Jupiter twee keer zo zwaar was geweest voor zijn omlooptijd?

Reflectie Schrijf hier de vraag. Maak een link van 'plaats hier je uw' en vul wel de title/mouseover, maar nier de URL. Bij mouseover wordt nu de antwoordindicatie getoond. Plaats hier je muis