Quizmaster

Je staat in de finale van een spelshow. Je wordt meegenomen naar een wand met drie gesloten deuren. Achter één van de deuren staat een prachtige auto, achter de andere twee deuren staat niets. De quizmaster vraagt je voor een van de deuren te gaan staan. Om de spanning op te voeren, opent de quizmaster, die weet achter welke deur de auto staat, een van de twee overgebleven deuren waarachter niets staat. Vervolgens geeft de quizmaster jou de mogelijkheid om over te lopen naar de andere dichte deur.

Activiteit

2. Wat doe je: verander je van keus of blijf je staan? Leg je keuze uit.

In de wiskunde zijn er maar weinig problemen die zoveel stof hebben doen opwaaien als deze vraag. In het Amerikaanse tijdschrift Parade Magazine schreef Marilyn Vos Savant erover in haar column 'AskMarilyn'. Zij schreef dat de kans om de auto te winnen twee keer zo groot is als de kandidaat wisselt van deur. Haar redenering is schematisch weergegevenin figuur 1.

Figuur 1. De drie mogelijke scenario's van het spelverloop bij wisselen van deur, als de auto achter deur A staat. De scenario's 2 en 3 leiden allebei tot het winnen van de auto, alleen bij scenario 1 leidt wisselen tot het winnen van niets. De kans op het winnen van de auto bij wisselen van deur is dus gelijk aan 2/3.

Vos Savant, die in het Guinness Book of Records wordt vermeld als de vrouw met het hoogste IQ: 228, maakte met haar redenering een storm van protest los. Bij de redactie van Parade Magazine kwam de ene brief na de andere binnen, onder andere van hoogleraren wiskunde. De meest lezenswaardige brieven werden geplaatst in volgende nummers van Parade Magazine. Het merendeel van de brievenschrijvers was van mening dat wisselen van deur niets uithaalt: blijven staan voor je eerste keus of wisselen van deur zouden allebei kans 1/2 hebben op het winnen van de auto. Lezers maakten Vos Savant uit voor stommeling en stelden dat het er niets toe deed of de kandidaat zou wisselen van deur.

Activiteit

In de formulering van het drie-deuren-probleem wordt nadrukkelijk vermeld dat de quizmaster weet achter welke deur de auto staat. De quizmaster handelt dus met voorkennis: van de twee overgebleven deuren opent hij bewust een deur waarachter niets staat. Voor de strategie die de kandidaat volgt, is dit een belangrijk gegeven.

3. Als de quizmaster een deur opent waarachter niets staat, geeft deze informatie dan een verdubbeling van de winstkans als de kandidaat wisselt van deur? Leg je antwoord uit.

 

Je ziet dat je dit probleem kunt oplossen door de mogelijkheden in een plaatje te laten zien. Als er meer zaken een rol spelen, zoals bij een ingewikkelde rechtszaak kun je beter gebruik maken van de wiskunde. Daarvoor moet je dan wel heel precies alle mogelijkheden en kansen nauwkeurig beschrijven en dan de wiskundige berekening uitvoeren.

We zullen straks laten zien dat je dit quizmasterprobleem ook kunt oplossen met de regel van Bayes.

Activiteit

Je kunt jezelf ook laten overtuigen door dit drie-deuren probleem een aantal keren uit te voeren met de volgende applet, maar of dat een echt bewijs is?

http://www.stat.sc.edu/~west/javahtml/LetsMakeaDeal.html

4. Probeer een aantal keren of je een prijs gewonnen hebt of niet. Bedenk wel eerst hoeveel keer proberen jij wel overtuigend vindt. Hoeveel keer is dat? Hoe vaak heb je gewonnen?