Laten we de formule uit opdracht 1d herschrijven.
Stel
Vul de ontbrekende waarden in de stappen hieronder in.
Je hebt nu laten zien dat en dat dit dus in beide gevallen gelijk is aan
In hoofdstuk 2 heb je kennis gemaakt met de afgeleide functie.
Nu zijn we vooral bezig met het berekenen van de afgeleide van bijvoorbeeld , wat gelijk is aan
. Maar waar kwam dat ook alweer vandaan?
We gaan terug naar de theorie uit hoofdstuk 2.
De afgeleide functie geeft voor ieder punt op de grafiek de richtingscoëfficient van de raaklijn, oftwel de helling van de grafiek in dat punt.
Zie hieronder een grafiek.
We bekijken de helling tussen twee punten, A en B.
De helling van de lijn tussen de punten A en B noemen we het differentiequotiënt op het interval [a,b].
De richtingscoëfficiënt van deze lijn, oftewel het differentieqoutiënt op [a,b] is gelijk aan
en is ook wel gelijk aan
Als we de groene grafiek f noemen, en we stellen dat en
dan krijg je:
Nou is deze lijn nog niet de helling op de grafiek in één punt. Dat komt omdat het interval [a,b] daarvoor te groot is. We gaan het interval kleiner maken om daarmee de helling in één punt te kunnen berekenen.
Klik op de volgende link en kijk wat er gebeurt als je punt b steeds dichter naar punt a toe versleept.
Je hebt gezien dat je de helling voor elk punt op de grafiek kunt vinden, door het interval steeds kleiner te maken.
Als je de helling wilt weten voor x, dan neem je een tweede punt wat op afstand h van x ligt.
De differentiequotiënt op [x, x+h] is dan gelijk aan
Als we het verschil tussen de twee punten steeds kleiner maken, dan gaat de helling tussen de twee punten steeds meer lijken op de helling in één punt.
De afgeleide van de grafiek f is dus
We gaan proberen om de afgeleide functie van op te stellen.
Uit de definitie van hiervoor weten we dat
Nu is , dus
Dus
We mogen de in de teller buiten haakjes halen.
Dan is
Je kunt dit ook herschrijven door de buiten haakjes vóór de breuk te halen.
De buiten haakjes heeft niks te maken met de limiet die je berekent naar h. Dus mag je deze ook voor de limiet plaatsen.
De afgeleide is gelijk aan de gewone functie
wanneer
Dus, we willen dat als h naar nul gaat.
Kruislinks vermenigvuldigen geeft , oftwel
Dit geeft
Dus, er bestaat een functie waarvoor
. En dit gebeurt als
.
Deze formule hebben we eerder ook al gezien!