Welkom bij deze mini-les over Catalan-getallen. In deze les zul je leren wat Catalan-getallen zijn, hoe deze zichtbaar zijn bij diverse telproblemen in de combinatoriek en bestuderen we een aantal formules om de Catalan-getallen te bepalen.
In deze les zijn een aantal activiteiten en verwerkingsopdrachten verwerkt die achter elkaar doorlopen moeten worden. De bedoeling is dat de verwerkingsopdrachten uiteindelijk ingeleverd worden om beoordeeld te worden, van de activiteiten zijn de uitwerkingen te vinden op de website.
Laten we eerst beginnen met het oplossen van een wiskundig vraagstuk uit het 6-vwo examen wiskunde A.
Blikstapelingen
Bij het spel blikgooien krijgt de speler één of meer ballen waarmee hij of zij
moet proberen zoveel mogelijk blikken van een toren af te gooien. Zo’n toren is altijd op dezelfde manier opgebouwd: op de onderste laag staat een aantal blikken en op de lagen erboven steeds één minder. Op de foto zie je een toren met zes blikken.
We nemen in deze opgaven aan dat, als een bal de toren raakt, de onderste laag in zijn geheel blijft staan. Neem aan dat een geraakt blik ook werkelijk van de toren afvalt en nooit ‘’mooi’’ op een lager gelegen laag terechtkomt en
ook dat blikken niet blijven staan als één of meer blikken eronder wegvallen.
Lars gooit één bal naar een toren met zes blikken, zoals op de foto. Na zijn worp blijft de onderste laag van drie blikken staan. Er zijn nu vijf mogelijkheden voor de overgebleven toren. Drie van deze mogelijkheden zijn in figuur 1a, 1b en 1c schematisch getekend.
Activiteit 1. Teken de andere twee mogelijkheden
We gaan in deze opgave deze situatie wat theoretischer bekijken. We tellen het aantal mogelijke stapelingen van blikken op een onderste laag van blikken. Hierbij staat vanaf de tweede laag ieder blik steeds boven op twee onderliggende blikken. We nemen steeds aan dat er één keer gegooid is en dat de hele onderste laag is blijven staan.
Voor is er maar één blik, dus is er ook één mogelijke stapeling.
Voor zijn er twee mogelijke stapelingen. Zie figuur 2.
Je kunt nu met een redenering nagaan dat het aantal mogelijke stapelingen voor gelijk is aan 5. Deze redenering gaat als volgt:
Er is één manier met 3 blikken op de onderste laag en 0 blikken op de tweede laag.
Er zijn twee manieren met 3 blikken op de onderste laag en 1 blik op de tweede laag.
Er is één manier met 3 blikken op de onderste laag en 2 blikken op de tweede laag (figuur 1b).
Er is één manier met 3 blikken op de onderste laag, 2 blikken op de tweede laag en 1 blik op de derde laag (figuur 1a).
Dat is samen mogelijkheden.
Voor is het aantal mogelijke stapelingen gelijk aan 14.
Activiteit 2. Toon dit aan.
(Hint: Teken eventueel een aantal mogelijkheden)
