We gaan eerst kijken wat er gebeurt als ik breuken met elkaar vermenigvuldig. Dit is namelijk makkelijker dan optellen en aftellen.
Want als ik breuken vermenigvuldig, neem ik dus een deel van een deel, dan hoef ik niet te zorgen dat de breuken gelijknamenig (noemers gelijk) zijn.
Het kan voorkomen dat je niet direct ziet dat je met breuken vermenigvuldigen te maken hebt. als getallenvoorbeeld:
wat hier gebeurt is dat ik dus
doe want als je hetzelfde getal bij elkaar telt kun je dat ook schrijven als een vermenigvuldiging.
wat hier dus is gebeurt is dat de twee eigenlijk alleen met de bovenkant is vermenigvuldigd. Om te kijken wat er gebeurt als je breuken vermenigvuldigd kan je 2 ook als een breuk schrijven
ik mag namelijk altijd delen door 1 want dan verandert er niks aan het getal.
Als ik de twee vervangen voor de breuk krijg ik zoals we net zagen vermenigvuldig ik de 2 met de 3. Maar nu zie je ook dat ik de 1 met de 4 vermenigvuldig.
Dus bij het vermenigvuldigen van breuken doe ik teller * teller en noemer * noemer
Met letters werkt dit precies hetzelfde:
Maar wat als ik wel direct zie dat ik met een breuk te maken heb?
Stel ik wil een twee derde hebben van vier vijfde. Dan moet ik de breuken met elkaar vermenigvuldigen. *als je niet weet waarom ga dan naar de docent
De regel is altijd teller*teller en noemer*noemer.
Dit kun je ook toepassen met letters
Heb je dit al goed onder de knie scroll dan door naar het volgende tekst blokje. Zo niet maak eventjes de oefeningen hieronder voor je doorscrollt.
Om te kunnen reken met breuken met letters moet je dit eerst goed met breuken met cijfers kunnen.
We gaan daarom eerst kijken hoe het werkt met cijfers. Hiervoor moet je eventjes alle trucjes vergeten die je aangeleerd hebt en goed opletten wat er precies gebeurt.
We hebben net gezien dat breuken vermenigvuldigen niet heel ingewikkeld in elkaar steekt. En dit kunnen we ook gaan toepassen om breuken gelijknamig te maken om ze te kunnen optellen en aftellen. Een andere eigenschap in de wiskunde die we kunnen gebruiken is dat we altijd mogen vermenigvuldigen met 1.
Zorg dat je deze twee boven genoemde uitleg van breuken goed in je achterhoofd houdt.
Laten we eens gaan kijken naar de volgende som:
Ik wil graag weten als ik deze twee delen samenneem hoeveel ik dan in totaal heb.
Nu weten we dat we alleen breuken kunnen optellen en aftellen die gelijknamig zijn (noemers moeten gelijk zijn).
Denk eens na over het volgende:
Waarom moeten de breuken eigenlijk gelijknamig zijn?
De noemer geeft aan in hoeveel delen het geheel is gedeeld. Als ik 2 cirkels verdeel en de ene in 5 stukken en de andere in 7 dan zijn de stukken verschillend van maat en moeilijk te vergelijken met elkaar, laat staan bij elkaar optellen. kijk maar:
Ik moet dus zorgen dat de stukken even groot zijn.
Ik moet dus iets doen met de breuken zodat de noemers gelijk worden. En ik heb net geleerd dat ik altijd elk getal, dus ook een breuk, mag vermenigvuldigen met een 1. Maar als ik nu eens niet zomaar een 1 kies maar een "slimme" 1.
Ik weet dat ik beide noemers naar 35 kan brengen. De 5 door deze met 7 te vermenigvuldigen en de 7 door deze met 5 te vermenigvuldigen. Maar hoe zorg ik nu dat ik beide breuken met een 1 vermenigvuldig?
Door het op deze manier te doen
De en
staan beide gelijk aan 1, reken maar na. Maar ik heb een "slimme" gekozen.
Nu kan ik de vermenigvuldig uitrekenen zoals dit normaal ook gaat.
en
en dat betekent dat ik kan nu de breuken bij elkaar kan optellen.
en zoals jullie weten willen we altijd breuken zover mogelijk vereenvoudigen. en het uiteindelijke antwoord wordt dus
Dit zelfde kunnen we toepassen bij breuken met letters. Let op! de moeilijkheid daarbij is dat je de regels van letterrekenen aan moet houden. Maar houdt ook altijd in je achterhoofd dat letters eigenlijk hetzelfde zijn als cijfers, we weten alleen nog niet welke.
Probeer dit eens:
Zoals je in de vraag hierboven hebt gezien kun je met letters dus precies dezelfde regel gebruiken. Alleen moet je zelf bedenken dat ook gelijk is aan 1.
Het is dus niet erg als er nog een optelling of aftelling in je teller staat, dit is met letters helaas vaak niet te voorkomen omdat je alleen letters weg mag delen wanneer ze in alle termen in de teller en noemer voorkomen.
Ging de vorige opgave goed en snap je het, kijk deze uitleg dan vluchtig door en ga verder. Zo niet kijk dan goed naar deze uitleg:
De noemers zijn niet gelijk dus ik moet ze gelijk maken. Dit doe ik door de vorige uitleg toe te passen, namelijk beide breuken te vermenigvuldigen met een slimme 1 zodat ze gelijk zijn. Let op soms hoef je maar 1 breuk te vermenigvuldigen om de noemers gelijk te maken, dit scheelt een hoop stappen!
In dit geval moet 5b worde 5bx en x moet worden 5bx. Ik moet dus 5b met x vermenigvuldigen en x met 5b. Mijn slimme eenen zullen dus zijn: en
dit wordt dus
en
Mijn som is nu dus de noemers zijn gelijk dus nu is het een kwestie van de teller bij elkaar optellen en vereenvoudigen als dit mogelijk is.
Let op dat je altijd de tussenstappen opschrijft, die zijn nog belangrijker dan het antwoord!
Wanneer je deelt of een breuk opschrijft kun je deze vaak vereenvoudigen. Dit doe je door zowel boven de deelstreep als onder de deelstreep hetzelfde getal weg te delen.
Let er dus op dat je zowel onder als boven de deelstreep het getal weg moet kunnen delen anders mag je dit niet doen.
Als we kijken naar het volgende:
hier kan ik zowel boven als onder de deelstreep delen door 5. ik krijg dan:
oftwerwijl 5.
Dit werkt bij letters hetzelfde.
zowel boven de deelstreep als onder de deelstreep kan ik b wegdelen (let op je deelt dus echt door b in beide gevallen)
Ik krijg dus
Het word wat ingewikkelder wanneer je boven of onder de deelstreep en optellen of aftelling hebt.
Nu zul je misschien denken ik kan de 6cd en de 9dp delen door 3, en ik kan de 5dp en 9dp delen door p. Maar je hebt hier met 3 verschillende termen te maken. Je mag alleen in een deling cijfers of letters wegdelen wanneer ze in alle termen voorkomen.
In dit geval is dat dus alleen de d die in alle termen voorkomt. Zo geldt dus:
verder dan dit kan en mag ik het niet vereenvoudigen.
Oefen hier nog mee op https://math4all.algebrakit.nl/math4all/overview > letterrekenen > algebra delen