Misschien heb jij ook wel een leuke sleutelhanger van bijvoorbeeld een blik je aan je sleutelbos. Of heb je laatst een maquette gezien van de wijk waar je in woont. Dit zijn allebei voorbeelden van dingen die verkleint zijn. De huizen op de maquette zijn precies hetzelfde als de huizen in de echte wijk, alleen een stuk kleiner natuurlijk. Je hebt hier te maken met gelijkvormige figuren. In deze paragraaf leer je hoe je gelijkvormige figuren kunt herkennen en hoe we hier een berekening mee kunnen maken.
Succes!
Leerdoelen
Ik kan uitleggen wanneer twee figuren gelijkvormig zijn.
Ik herken gelijkvormigheid in driehoeken.
Ik kan bij twee gelijkvormige figuren een verhoudingstabel invullen.
Kennisbank
Wanneer zijn twee figuren gelijkvormig?
Soms zijn figuren gelijkvormig. We kijken specifiek naar driehoeken in deze paragraaf. De ene driehoek is dan een vergroting of een verkleining van de andere driehoek. Als we de vergrotingsfactor weten, dan kunnen we daarmee vaak de lengte van onbekende zijden berekenen.
Twee figuren zijn gelijk vormig als:
de overeenkomstige hoeken even groot zijn.
De zijden van de figuren in een verhoudingstabel passen.
(ze zijn een vergroting/verkleining van elkaar.)
Voorbeeld
Zijn onderstaande driehoeken gelijkvormig?
We stellen onszelf twee vragen:
1. zijn de hoeken gelijk? C = E = 90° → Ja A = F→ Ja B = D→ Ja
2. zijn alle maten een vergroting/verkleing van elkaar?
40 : 20 = 2
60 : 30 = 2
Als aan beide voorwaarden is voldaan, dus op beide vragen het antwoord ja is, dan kun je zeggen dat de driehoeken gelijkvormig zijn:
Driehoek ABC is gelijkvormig met driehoek DEF. → ΔABC ~ ΔDEF
We kunnen nu een verhoudingstabel invullen:
ΔABC
AB = 30
BC = 28
AC = 20
ΔDEF
DF = 60
DE = ...
EF = 40
..1.
Gelijkvormigheid noteren.
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Noteer overeenkomstige hoeken
dus A = ... B = ....
enz..
Vul nu ook de gelijkvormigheid in:
ΔABC ~ Δ ...
..2.
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Noteer overeenkomstige hoeken
dus K = ... L = ....
enz..
Vul nu ook de gelijkvormigheid in:
ΔKLM ~ Δ ...
..3.
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Noteer overeenkomstige hoeken
dus D = ... E = ....
enz..
Vul nu ook de gelijkvormigheid in:
ΔDEF ~ Δ ...
..4.
Gelijkvormige driehoeken herkennen
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Noteer overeenkomstige hoeken
dus A = ... B = ....
enz..
Vul nu ook de gelijkvormigheid in:
ΔABC ~ Δ ...
Kennisbank
Weet je het nog, twee figuren zijn gelijkvormig als:
de overeenkomstige hoeken even groot zijn.
De zijden van de figuren in een verhoudingstabel passen.
(ze zijn een vergroting/verkleining van elkaar.)
Kijk maar naar de driehoeken hieronder.
Aan de tekentjes kun je zien dat de hoeken van de driehoeken even groot zijn.
K = R en M = P
Ook de zijden van de driehoek zijn een vergroting/verkleining van elkaar.
We kunnen dus een verhoudingstabel gebruiken.
Δ PQR
PQ = ...
QR = 9
PR = 5
Δ MLK
ML = 9
LK = 13,5
MK = 7,5
* normaal zetten we de letters altijd op volgorde van het alfabet. Dit keer niet omdat we de letters van de hoeken die bij elkaar horen onder elkaar zetten.
Je kunt de tabel gebruiken om de ontbrekende zijde te berekenen. In het filmpje hieronder wordt dat nog eens voorgedaan.
..5.
Verhoudingstabel bij gelijkvormigheid
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Neem over in je schrift en vul in:
ΔCAB ~ Δ ...
Neem daarna de tabel over in je schrift en vul de ontbrekende gegevens in.
ΔCAB
CA = 13
CB = 27
AB = 30
Δ .....
... = ...
... = ...
... = ...
..6.
Tabel invullen bij gelijkvormigheid
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Neem over in je schrift en vul in:
ΔPQR ~ Δ ...
Neem daarna de tabel over in je schrift en vul de ontbrekende gegevens in.
ΔPQR
PQ = ...
QR = 5
PR = 7
Δ .....
ML = 15
... = ...
... = ...
..7.
Vul de tabel in
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Neem over in je schrift en vul in:
ΔBCA ~ Δ ...
Neem daarna de tabel over in je schrift en vul de ontbrekende gegevens in.
ΔABC
AB = 5
... = ...
... = ...
Δ .....
... = ...
... = ...
KL = 9
..8.
Gelijkvormigheid en de verhoudingstabel.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Neem over in je schrift en vul in:
ΔABC ~ Δ ...
Neem daarna de tabel over in je schrift en vul de ontbrekende gegevens in.
ΔABC
AB = 2
... = ...
... = ...
Δ .....
... = ...
... = ...
... = ...
Kennisbank
Snavelbek en zandloperfiguur.
Wanneer we te maken krijgen met evenwijdige lijnen, dan moeten we extra opletten. Het kan zo maar eens zo zijn dat je een snavelbek of een zandloper figuur krijgt.
Hieronder zien we voorbeelden van een snavelbek figuur en een zandloper figuur.
ook nu kunnen we natuurlijk de gelijkvormigheid weer beschrijven.
Kijk maar eens naar de snavelbekfiguur. Hierin geldt:
ΔADE ~ ΔABC omdat A = A en D = B (dit is al voldoende) E = C
..9.
..10.
..11.
..12.
Driehoeken zijn gelijkvormig als:
- alle zijden dezelfde vergrotingsfactor hebben (zie ΔDEF en ΔGHI)
of
- alle hoeken even groot zijn (zie ΔABC en ΔRPQ)
Als driehoeken gelijkvormig zijn schrijven we dit als volgt:
ΔDEF ~ ΔGHI of ΔABC ~ ΔRPQ
Bij het opschrijven van de driehoeken zet je de overeenkomstige zijden/hoeken op dezelfde plaats.
Voorbeelden:
Zijde HI is een vergroting van EF
Zijde GH is een vergroting van DE
∠∠ P = ∠∠ B en ∠∠ A = ∠∠R
OPDRACHTEN
1.
Op het plaatje hieronder zie je allerlei driehoeken.
a) Welke driehoek is een vergroting van driehoek ABC?
b) Bereken de vergrotingsfactor.
c) Waarom zijn de andere driehoeken geen vergroting?
2. ΔABC ~ ΔRPQ
a) Welke hoek is even groot als ∠∠B?
b) Welke andere hoeken zijn ook gelijk?
c) Van welke zijde is PQ een vergroting?
d) Van welke zijde is RP een vergroting?
3. ΔDEF~ΔKLM
Neem over en vul in
a) ∠∠K = ∠∠ ....
∠∠L = ∠∠ ......
b) Zijde MK is een vergroting van zijde ......
Zijde KL is een vergroting van zijde.....
Zijde ML is een vergroting van zijde ....
4. Bekijk de zandloperfiguur hiernaast.
a) Schrijf alle gelijke hoeken op.
b) Schrijf de gelijkvormige driehoeken op.
Gebruik hiervoor de tekens zoals hierboven beschreven!!
5. Bekijk de zandloperfiguur hieronder.
a) Zijde CD is een vergroting van zijde AC. Bereken de vergrotingsfactor.
b) Hoe kun je laten zien dat de twee driehoeken gelijkvormig zijn?
c) Schrijf de gelijkvormige driehoeken op.
d) Schrijf de gelijke hoeken en zijden op.
e) AB = 1,8. Hoe lang is DE dan?
In gelijkvormige driehoeken kun je de lengtes van zijden berekenen. Je gebruikt dan de vergrotingsfactor.
Gelijkvormige driehoeken hebben dezelfde verhouding, daarom kun je een verhoudingstabel gebruiken.
Voorbeeld: Bereken de lengte van de zijden EF en DE, rond af op hele mm
Als we kijken naar de hoeken dan kunnen we stellen datΔABC~ΔFDE
Het is belangrijk om de letters in de juiste volgorde te zetten, kijk dus eerst welke hoeken er gelijk zijn aan elkaar!!
ΔABC
AB = 30
BC = 27
AC = 13
ΔFDE
FD = 40
DE = ?
EF = ?
De vergrotingsfactor = 40:30 = 1,33
EF = 13 x 1,33 = 17 mm
DE = 27 x 1,33 = 36 mm
6. Bekijk de driehoeken hiernaast.
a) Schrijf alle gelijke hoeken op, gebruik het hoekteken.
b) Schrijf de gelijkvormige driehoeken op, gebruik het teken voor driehoek en gelijkvormigheid.
c) Maak een verhoudingstabel zoals in het voorbeeld hierboven en vul deze in voor de driehoeken hiernaast.
d) Bereken de vergrotingsfactor
e) Bereken de lengte van de zijden met het ?
7. Bekijk de driehoeken hiernaast.
a) Schrijf de gelijke driehoeken op, gebruik de juiste tekens.
b) Maak de bijbehorende verhoudingstabel en vul alle maten in.
c) Bereken de zijden met een ? met behulp van je tabel en vergrotingsfactor.
8. Bekijk de driehoeken hiernaast, de maten zijn in cm.
Bereken de lengte van zijde ED enAD. Laat eerst zien welke driehoeken gelijkvormig zijn.
Laat zien hoe je aan je antwoord komt, je mag een verhoudingstabel gebruiken, dit hoeft niet.
9. Bekijk de driehoeken hiernaast. De maten zijn in decimeters.
Bereken de lengte van de zijden met een ?
10. Bekijk de driehoeken hiernaast. De maten zijn in meters.
Misschien heb jij ook wel een leuke sleutelhanger van bijvoorbeeld een blik je aan je sleutelbos. Of heb je laatst een maquette gezien van de wijk waar je in woont. Dit zijn allebei voorbeelden van dingen die verkleint zijn. De huizen op de maquette zijn precies hetzelfde als de huizen in de echte wijk, alleen een stuk kleiner natuurlijk. Je hebt hier te maken met gelijkvormige figuren. In deze paragraaf leer je hoe je gelijkvormige figuren kunt herkennen en hoe we hier een berekening mee kunnen maken.
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Bekijk de twee driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
Bekijk de driehoeken hiernaast.
