Goniometrie

Goniometrie
De wiskundetak die zich bezig houdt met hoeken en driehoeken.

Ontstaan
Griekse wetenschappers raakten al geïnteresseerd in goniometrie door te kijken naar de sterren. Zij hadden goniometrie nodig om afstanden tussen sterren te berekenen en het belangrijkste griekse leerboek over astronomie (die bewaard is gebleven) is het boek van Ptolemaeus. Deze is naar het Arabisch vertaald en heet Almagest. De basis van sterrenkunde ligt in de goniometrie. Zelfs de chinezen waren hier al mee bezig.


Waar gebruik ik goniometrie voor bij natuur- en scheikunde?
Je gebruikt dit kortgezegd voor het berekenen van zijdes en of hoeken. Stel je de volgende driehoek voor.


Hier zetten wij wat gegevens in:

Wij hebben hierin een hoek benoemt, dit is hoek alfa (onderin). Hoeken noemen wij naar griekse letters. Deze griekse letters kun je vinden in binas tabel 1.
Als wij in bovenstaand voorbeeld zijde A en zijde B weten, kunnen wij met behulp van pythagoras de lengte van zijde C bepalen.

Met behulp van goniometrie kun je de grootte van hoek alfa bepalen. Voordat we dat kunnen gaan doen hebben wij eerst nog meer kennis nodig en die is als volgt:

Bekeken vanuit hoek alfa noemen wij:
zijde A: de aanliggende zijde (deze ligt aan de hoek).
Zijde B: de overstaande zijde (deze staat aan de overkant van de hoek).
Zijde C: De schuine zijde (Dit is de zijde die schuin ligt).

Dan is er nog het volgende ezelsbruggetje wat je moet onthouden:

De boot vergaat! De boot genaamd Cas Toa vergaat! SOS! SOS!

SOS CAS TOA wil het volgende zeggen:

Voor het eerste voorbeeld betekend dit dus dat de sinus van hoek alfa gelijk is aan de overstaande zijde (zijde B) delen door de schuine zijde (zijde C).
Let op! Je hebt de hoek dus nog niet gevonden! Je moet nog je antwoord van de deling invullen in sin-1 ( ... ).

Voor het tweede voorbeeld betekend dit dus dat de cosinus van hoek alfa gelijk is aan de aanliggende zijde (zijde A) delen door de schuine zijde (zijde C).
Let op! Je hebt de hoek dus nog niet gevonden! Je moet nog je antwoord van de deling invullen in cos-1 ( ... ).

Voor het derde voorbeeld betekend dit dus dat de tangens van hoek alfa gelijk is aan de overstaande zijde (zijde B) delen door de aanliggende zijde (zijde A).
Let op! Je hebt de hoek dus nog niet gevonden! Je moet nog je antwoord van de deling invullen in tan-1 ( ... ).

Als je de formule ombouwt, kun je dus met behulp van hoek alfa en een zijde elke andere zijde berekenen.

Hieronder heb je twee oefeningen uit de wiskunde en twee uit de natuurkunde. Oefen deze. de uitwerkingen staan onder het kopje: Antwoorden in het venster hiernaast.

 

 


1. Wiskundevoorbeeld 1
In onderstaande afbeelding is zijde AB 20 cm en is zijde BC 51cm. Hoek B is een rechte hoek.
Bereken de grootte van hoek alfa.



2. Wiskundevoorbeeld 2
In onderstaande afbeelding staat driehoek DEF. Hoek beta is 21o. Zijde DF is 70 cm. Bereken de lengte van zijde DE.


3. Natuurkundevoorbeeld 1
Jeroen fietst een heuvel op die een hellingshoek fie heeft van 24o. Jeroen heeft volgens zijn fietscomputer nu 30 km gefietst, maar die berekend de afstand op de fiets zelf met behulp van rotaties van de band. Jeroen doet hier 2,5 uur over.



Bereken Jan's hemelsbrede snelheid.

4. Natuurkundevoorbeeld 2
In onderstaande afbeelding zie je een blokje stil liggen op een helling. De massa van het blokje is 45 kg. Hoek alfa is gelijk aan 12o. Bereken de grootte van de x-component van de zwaartekracht (Fzx).

Tips bij deze opgave:
- Bereken eerst de zwaartekracht.
- Kijk of je ergens een gelijkvormige driehoek ziet.