Lijnstukken en hoeken berekenen a.d.h.v. gelijkvormigheid

Pak je pen, rekenmachine en schrift erbij! We gaan een opgave maken. Zie hieronder de opgave. Je mag hem in eerste instantie zelf uitwerkingen, daarna kan je de uitwerking checken.

Bereken DP, hoek S en QR in 1 dec. nauwkeurig.

 

Om DP te vinden ga je als eerst checken, kan ik de goniometrische verhoudingen gebruiken?

Antwoord: NEE, want er zijn helemaal geen hoeken over... Dan gebruik je dus gelijkvormigheid.

Echter zijn er weinig zijdes gegeven gekregen, dus zal je een lengte x moeten stellen.

Stel DP = x, dan is AP = x+3

 

Kijk dan in welke driehoeken je het beste kan werken en probeer dán pas gelijkvormigheid aan te tonen. Zoals je misschien wel kon zien heeft driehoek QCR geen zin want daar zitten helemaal geen gegevens in. Dan moet je dus grote driehoek ASP gebruiken. Hier zitten gegevens in én je had in deze driehoek ook al lengte x toegepast.

Gelijkvormigheid:

- Hoek PDQ = Hoek PAS (90 graden of F-hoek, allebei goed)

- Hoek DPQ = Hoek APS (zelfde hoek)

(accolade) Driehoek APS ~ Driehoek DPQ

 

Maak dan een tabel:

AP l PS l AS          =        x+3 l PS l 6

DP l PQ l DQ                   x     l PQ l 1,5

 

Kruislings:

6x = 1,5(x+3)

6x = 1,5x + 4,5

4,5x = 4,5

x = 1

CONCLUSIE: DP = 1 en AP = 4

 

Nu hoek S

Hoek S zit in driehoek BSR, maar daar staan erg weinig gegevens in. Kijk dan naar een grotere driehoek waar meer gegevens in zitten, dus driehoek ASP.

Dan heb je al een overstaande rechthoekszijde gevonden en een aanliggende rechthoekszijde = TANGENS!

Dus: tan(hoek S) = o/a

tan(hoek S) = AP/AS

tan(hoek S) = 4/6

hoek S = (4/6) = 33,7 graden afgerond.

 

Nu QR!

Check in welke driehoek QR zit = driehoek QCR.

We hebben hier weinig gegevens in, maar we kunnen er al 1 vinden, namelijk QC. 4 - 1,5 = 2,5. Dus QC = 2,5. We hebben nog steeds geen hoeken gegeven, dus weer gelijkvormigheid zoeken.

Driehoek QCR gaan we dus met een andere driehoek gelijkvormig stellen. De driehoek er tegenover heeft veel gegevens (driehoek DPQ), je hebt namelijk DP en DQ. Desnoods kan je zelfs PQ nog berekenen met Pythagoras.

Waarom gebruik ik driehoek BSR niet? Die heeft simpelweg te weinig gegevens, maar 1. Met 3 kan ik meer dan met 1 ;)

Gelijkvormigheid:

- Hoek QCR = Hoek QDP (90 graden of Z-hoek, beide goed)

- Hoek CQR = Hoek DQP (overstaande hoek)

(accolade) driehoek QCR ~ QDP

Tabelletje maken:

QC l CR l QR       =    2,5 l CR l QR

QD l DP l QP             1,5  l 1    l QP

 

Dit is jammer. We kunnen alleen CR vinden met gelijkvormigheid.

MAAR!!!! Als we die gevonden hebben, hebben we in driehek QCR 2 zijden, dus kunnen we met Pythje de 3e vinden! Dat is QR. Dus iets verder kijken dan alleen de gelijkvormigheid, er kan een stapje nakomen. Daarom is het zo belangrijk dat je een schets maakt en inziet waar je nou je gegevens hebt staan die je ook berekent.

Ook een tip voor op de toets, stel je kunt niet vinden wat je wilt hebben of het lukt niet, dan moet je zoveel mogelijk berekenen wat je wel ziet. Soms kan je dan ineens het licht zien en heb je op een 'magische' wijze weer voldoende gegevens! So, never give up.

Nu weer verder...

1,5CR = 2,5

CR = 1 2/3 (=5/3)

Nu om QR te berekenen, Pythagoras:

 

DUS: QR = 3,0

 

Dit waren ze. Te doen???? Deze kan zeker op de toets komen!

 

Zie hier een filmpje voor nog extra verduidelijking:

 

Gelijkvormigheid in driehoeken met lengte x stellen https://www.youtube.com/watch?v=m919v9LsWDc