Herschrijven

Aan de vergelijking $\small x^2+y^2+6x-8y=0$ kun je niet zien dat dit een vergelijking van de cirkel met straal $\small 5$ en middelpunt $\small (\text{-}3,4)$ is.
Daarvoor moet je $\small x^2+y^2+6x-8y=0$ weer schrijven in de vorm $\small (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ .
We noemen deze laatste vorm de middelpuntsvorm. Dit 'terugschrijven' in de middelpuntsvorm doe je met kwadraatafsplitsen.
We geven hieronder twee voorbeelden. Als je moeite hebt met kwadraatafsplitsen, bekijk dan nog eens paragraaf Kwadratische vergelijkingen van hoofdstuk 3 Kwadratische verbanden.
Bij het kwadraatafsplitsen heb je twee van de drie merkwaardige producten nodig. We herhalen die hieronder.

Merkwaardige producten

$\small (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$\small (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$\small (a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Voorbeeld

We bepalen het middelpunt en de straal van de cirkel met vergelijking: $\small x^2+y^2+2x-10y=24$ .

$\small x^2+y^2+2x-10y$	$\small =$	$\small 24$	HERSCHIKKEN KWADRAATAFSPLITSEN VAN $\small x^2+2x$ EN $\small y^2-10y$ VEREENVOUDIGEN
$\small x^2+2x+y^2-10y$	$\small =$	$\small 24$
$\small (x+1)^2-1+(y-5)^2-25$	$\small =$	$\small 24$
$\small (x+1)^2+(y-5)^2$	$\small =$	$\small 50$

We hebben nu de middelpuntsvorm. Het middelpunt van de cirkel is $\small (\text{-}1,5)$ en de straal is $\small \sqrt{50}=5\sqrt{2}$

Voorbeeld

We bepalen het middelpunt en de straal van de cirkel met vergelijking: $\small 2x^2+2y^2+2x-10y=36$ .

$\small 2x^2+2y^2+2x-10y$	$\small =$	$\small 36$	DELEN DOOR $\small 2$ HERSCHIKKEN KWADRAATAFSPLITSEN VAN $\small x^2+x$ EN $\small y^2-5y$ VEREENVOUDIGEN
$\small x^2+y^2+x-5y$	$\small =$	$\small 18$
$\small x^2+x+y^2-5y$	$\small =$	$\small 18$
$\small (x+{1 \over 2})^2-{1 \over 4}+(y-2{1 \over 2})^2-{25 \over 4}$	$\small =$	$\small 18$
$\small (x+{1 \over 2})^2+(y-2{1 \over 2})^2$	$\small =$	$\small 24{1 \over 2}$

We hebben nu de middelpuntsvorm. Het middelpunt van de cirkel is $\small (\text{-}{1 \over 2},2{1 \over 2})$ en de straal is $\small \sqrt{24{1 \over 2}} = 3{1 \over 2}\sqrt{2}$ .