Oppervlakte ABC

De oppervlakte van driehoek $\small ABC =$	$\small {1 \over 2} \cdot a \cdot b \cdot \text{sin}(\gamma)$
	$\small {1 \over 2} \cdot b \cdot c \cdot \text{sin}(\alpha)$
	$\small {1 \over 2} \cdot a \cdot c \cdot \text{sin}(\beta)$

Voorbeeld:

Zie $\small\text{figuur 1}$ hieronder.

Vraag

Bereken de oppervlakte van driehoek $\small ABC$ exact.

Oplossing

De oppervlakte driehoek $\small ABC$ is $\small {1 \over 2} \cdot b \cdot c \cdot \text{sin}(\alpha)={1 \over 2}\cdot 3 \cdot 4 \cdot \text{sin}(30°)={1 \over 2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot {1 \over 2}=3$ .


$\small\text{figuur 1}$	$\small\text{figuur 2}$

Voorbeeld:

Zie $\small\text{figuur 2}$ .
Het latje $\small SX$ van lengte $\small 5\text{,}0$ zit scharnierend aan latje $\small AS$ van lengte $\small 3\text{,}7$ vast. Tussen $\small A$ en $\small X$ is een elastiekje gespannen. Als je hoek $\small ASX$ groter maakt, wordt de oppervlakte van driehoek $\small ASX$ eerst groter en als de hoek stomp wordt, weer kleiner.

Vraag

Bereken hoek $\small ASX$ in graden nauwkeurig als de oppervlakte van driehoek $\small ASX$ gelijk is aan $\small 3\text{,}9$ (er zijn twee oplossingen).

Oplossing

Er geldt: $\small {1 \over 2} \cdot 5\text{,}0 \cdot 3\text{,}7 \cdot \text{sin}(\angle ASX)=3\text{,}9$ , dus $\small \text{sin}(\angle ASX)=0\text{,}42\ldots$ .
$\small \text{sin}^\text{-1}(0\text{,}42 \ldots) \approx 25°$ , dus als hoek $\small ASX$ scherp is, dan $\small \angle ASX = 25°$ en als hoek $\small ASX$ stomp is, dan $\small \angle ASX = 155°$ .