1. Wortels schrijven als macht

Waneer we een simpele wortel hebben:

$\sqrt{9}=3$

Dan noteren we niet alles. We hebben de afspraak gemaakt dat wanneer we 'tweedemachts wortel' nemen, we de 2 weglaten. Netzoals we dat doen met de macht, de 1, van de negen. Maar eigenlijk staat er:

$\sqrt[2]{9^1}=3$

Aangezien wortels en machten elkaar tegenovergestelde bewerking zijn, weten we dat bovenstaande vergelijking klopt. Want:

Wanneer we in de originele functie de schijven als een kwadraad van dan zien we dat de 'macht van de wortel' en de 'exponent van de macht' elkaar opheffen.

$\sqrt[2]{3^2}=3$

Eigenlijk word de 'exponent van de macht' gedeeld door de 'macht van de wortel':

$\sqrt[\color{red}2]{3^\color{green}2}=3^{\frac{\color{green}2}{\color{red}2}}=3^1=3$

Wortels kunnen we in machten omschrijven met de regel: $\sqrt[u]{a^c}=a^{\frac{c}{u}}$

Bovenstaande regel geldt voor alle wortels. Zo is:

$\sqrt{7}=\sqrt[\color{red}2]{7^\color{green}1}=7^{\frac{\color{green}1}{\color{red}2}}$

Soms is het nog wel nodig om de macht te vereenvoudigen. In dit geval de breuk van de exponent:

$\sqrt{a^4}=\sqrt[\color{red}2]{a^\color{green}4}=a^{\frac{\color{green}4}{\color{red}2}}=a^2$

Opdracht 1.1

Schrijf de volgende wortels om naar een macht

$\sqrt{5}=$
$\sqrt{b^2}=$
$\sqrt{6^4}=$
$\sqrt{d^5}=$
$\sqrt{5^2a}=$

Wanneer we te maken hebben met 'hogeremachts' wortels zoals $\sqrt[3]{a}$ veranderd er niets aan de regel:

$\sqrt[\color{red}3]{a}=\sqrt[\color{red}3]{a^\color{green}1}=a^{\frac{\color{green}1}{\color{red}3}}$

Soms is het wel nodig om de breuk iets te vereenvoudigen:

$\sqrt[\color{red}3]{a^\color{green}8}=a^{\frac{\color{green}8}{\color{red}3}}=a^{2\frac{2}{3}}$

Opdracht 1.2

Schrijf de volgende wortels om naar een macht

$\sqrt[3]{5}=$
$\sqrt[4]{b^2}=$
$\sqrt[2,5]{6^{7,5}}=$
$\sqrt[1]{d^5}=$
$\sqrt[10]{5^2a}=$

Wanneer we complexere opgaves hebben die omgeschreven moeten worden naar een macht:

$\frac{1}{\sqrt{x}}=$

Dan is het belangrijk dat we als eerste stap de wortel schrijven als macht:

$\frac{1}{\sqrt[\color{red}2]{x^\color{green}1}}=\frac{1}{x^{\frac{\color{green}1}{\color{red}2}}}=$

Want vanaf dat moment kunnen we de rekenregels gebruiken voor machten (bijvoorbeeld $\frac{1}{a^p}=a^{-p}$ ):

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=x^{-\frac{1}{2}}$

Opdracht 1.3

Herleid de volgende opgaven tot een macht:

$\sqrt{x}*x^2=$
$\frac{3^2}{\sqrt{3}}=$
$\frac{\sqrt{x}}{x}=$
$\frac{1}{\sqrt{3}}=$
$\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}}=$