## 5.2 waarheidstabellen

Verzamelingenleer de toepassing: propositielogica deel 2.1 https://www.youtube.com/watch?v=CCxN35fW6r0

Verzamelingenleer de toepassing: propositielogica deel 2.2 https://www.youtube.com/watch?v=_bAT7djCoV0

De letters p en q, maar bijvoorbeeld ook r, s, t, u ,v etc., zijn atomaire zinnen. We gaan nu kijken naar de waarheidstabellen. Hierbij worden de symbolen A en B gebruikt. Deze staan voor een willekeurige zin, die atomair (p, q, r) kan zijn of complex (p ⊃ q, p ∨ q).

Als de A voor p ∨ q staat en de B voor p ∧ q, dan staat A ⊃ B dus voor (p ∨ q) ⊃ (p ∧ q). Hierin is '⊃' de hoofdconnectief, omdat deze als laatste wordt toegevoegd.

A ⊃ B kan dus ook zijn: ((p ∧ q) ⊃ r). Hierin is het hoofdconnectief ‘⊃’. In de zin: (p ∧ q) ∨ (r ∧ s) is ‘∨’ het hoofdconnectief.

In de zin ((p ∧ (q ⊃ r)) ∨ (¬((p ∧ q) ⊃ r))) is ‘∨’ de hoofdconnectief.

In een waarheidstabel kan je de waarheidswaardes van een zin zien.

Bij negatie ziet de tabel er als volgt uit:

¬
A | ¬A
waar | onwaar
onwaar | waar

Als A waar is, dan is ‘niet A’ dus niet waar. En omgekeerd: als A onwaar is, dan is ‘niet A’ waar. Stel dat A staat voor: het regent. Als A waar is, regent het dus. 'Niet A', dus het regent niet, is dan dus niet waar.

Je kan ‘waar’ weergeven met 1 en ‘onwaar’ met 0:

¬
A | ¬A
1 | 0
0 | 1

Dit kan je ook voor de andere connectieven doen. Deze waarheidstabellen zien er als volgt uit:

conjunctie

∧
A | B | (A ∧ B)
1 | 1 | 1
1 | 0 | 0
0 | 1 | 0
0 | 0 | 0

'A en B' is alleen waar als A en B allebei waar zijn. Stel A is: 'ik draag een rode trui'; en B is 'ik draag blauwe schoenen'. 'Ik draag een rode trui en blauwe schoenen' (A en B) klopt dan dus alleen als ik zowel een rode trui (A) als blauwe schoenen (B) draag.

Disjunctie (let op: hier betekent ‘A ∨ B’ A en/of B):

∨
A | B | (A ∨ B)
1 | 1 | 1
1 | 0 | 1
0 | 1 | 1
0 | 0 | 0

'A en/of B' is alleen onwaar als A en B allebei onwaar zijn. Omdat 'A ∨ B' zowel 'A en B' als 'A of B' betekent, is het waar niet alleen waar als een van beiden waar is (of), maar ook wanneer ze allebei waar zijn (en).

Materiële implicatie:

⊃
A | B | (A ⊃ B)
1 | 1 | 1
1 | 0 | 0
0 | 1 | 1
0 | 0 | 1

De materiële implicatie is alleen onwaar wanneer A waar is en B onwaar is. Wanneer A waar is volgt hier namelijk meteen uit dat B ook waar is, want als A dan B.

Als A onwaar is en B waar is, klopt de materiële implicatie echter wel. A is namelijk niet het enige dat tot B kan leiden. Neem het voorbeeld:

Als robots slim zijn, dan zijn ze gevaarlijk (p ⊃ q)

Robots zijn gevaarlijk (q)

Dus: robots zijn slim (p)

Deze redenering is niet geldig. Dat robots gevaarlijk zijn, betekent niet dat ze ook slim zijn. Ze kunnen bijvoorbeeld ook gevaarlijk zijn omdat ze sterk zijn.

Dubbele implicatie:

↔
A | B | (A ↔ B)
1 | 1 | 1
1 | 0 | 0
0 | 1 | 0
0 | 0 | 1

Deze is waar als A en B dezelfde waarde hebben. A en B zijn hierbij namelijk gelijkwaardig.

Met behulp van waarheidstabellen kun je testen of een argumentvorm geldig is. We nemen als voorbeeld de Modus Tollens:

p ⊃ q

¬q

Dus: ¬p

De regel is: Een argument is alleen geldig als het onmogelijk is dat alle premissen waar zijn en de conclusie onwaar.

We maken eerst van de premissen een conjunctie:

(p ⊃ q) ∧ (¬q)

Vervolgens zetten we dit samen met de conclusie in een tabel:

(p ⊃ q) ∧ (¬q) | ¬p

We stellen nu de premissen op door een 1 onder de hoofdconnectief (∧) te zetten. De conclusie stellen we op onwaar door een 0 onder de hoofdconnectief (¬) te zetten.

(p ⊃ q) ∧ (¬q) | ¬p
1 | 0

Nu kan je de waarheidstabellen die we eerder hebben gezien gebruiken om de waarheidswaardes verder in te vullen. We zien in de waarheidstabel van negatie dat ¬p alleen onwaar is als p waar is. Onder de p vul je dus 1 in. Dit doe je vervolgens voor elke p in de tabel:

(p ⊃ q) ∧ (¬q) | ¬p
1 1 | 01

We zien in de waarheidstabel van een conjunctie dat de conjunctie alleen waar is, als beide zinnen waar zijn. Onder de hoofdconnectieven van de zinnen (p ⊃ q) en (¬q) (⊃ en ¬) kun je dus een 1 zetten:

(p ⊃ q) ∧ (¬q) | ¬p
1 1 1 1 | 01

In de waarheidstabel van een materiële implicatie zie je dat als p waar is, q ook waar moet zijn.

(p ⊃ q) ∧ (¬q) | ¬p
1 1 1 1 1 | 01

En in de waarheidstabel van een negatie zie je dat als ¬q waar is, q onwaar moet zijn. Dit leidt dus tot een probleem: q moet zowel waar als onwaar zijn. Dit is onmogelijk.

Het voldoet dus aan de regel: Een argument is alleen geldig als het onmogelijk is dat alle premissen waar zijn en de conclusie onwaar.

De argumentvorm Modus Tollens is dus logisch geldig.

Deze methode kun je ook gebruiken voor andere redeneringen om erachter te komen of ze logisch geldig zijn.