Bewijs voor de stelling.

Er bestaan meer dan 350 bewijzen voor de stelling van Pythagoras. Onder deze bewijzen zijn er die zijn ontdekt of mogelijk herontdekt door prominenten, zoals James Garfield, de 20e president van de Verenigde Staten, en Multatuli.

Hieronder zullen een aantal bewijzen uitgelegd worden. 

 

Bewijs met opdelen in vierkant

Een van de meer eenvoudige bewijzen deelt een vierkant met zijde {\displaystyle a+b}op twee manieren in. In de figuur hieronder is het vierkant opgebouwd uit een vierkant met zijde a, een vierkant met zijde b, en 4 rechthoekige driehoeken. De rechterfiguur is een vierkant opgebouwd uit een vierkant met zijde cen dezelfde 4 rechthoekige driehoeken.

Beide figuren tonen een vierkant met zijde {\displaystyle a+b}, dus beide vierkanten hebben dezelfde oppervlakte. Laat men nu zowel links als rechts de vier rechthoekige driehoeken weg, dan hebben de figuren die overblijven ook dezelfde oppervlakte. Links blijven een vierkant met zijde aen een vierkant met zijde bover, met een gezamenlijke oppervlakte van {\displaystyle a^{2}+b^{2}}. Rechts resteert een vierkant met zijde c. Het vierkant met zijde {\displaystyle ac}heeft een oppervlakte van c^2. Hiermee is de stelling bewezen.

Voor mensen die van meer algebraïsche bewijzen houden, ziet het bewijs er als volgt uit: Telkens zijn er een korte en een lange zijde in elkaars verlengde geplaatst. De lengte en breedte van de zijden van het vierkant zijn beide {\displaystyle a+b}, dus de oppervlakte van het grote vierkant is {\displaystyle (a+b)^{2}}.

De oppervlakte is ook gelijk aan de som van de vier driehoeken {\displaystyle 4\times {\tfrac {1}{2}}ab}plus de oppervlakte van het binnenste vierkant, dat oppervlakte c^2heeft. Dus

{\displaystyle (a+b)^{2}=2ab+c^{2}}

Uitwerken van het kwadraat links geeft:

{\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}},

dus:

a^{2}+b^{2}=c^{2}

Bewijs met gelijkvormigheid

P triangle.svg

Een ander inzichtelijk bewijs maakt gebruik van een hulplijn. Hiertoe dient de hoogtelijn vanuit de rechte hoek C, die zijde AB snijdt in het punt D.

Het is nu snel in te zien dat driehoek {\displaystyle ACD} gelijkvormig is aan driehoek {\displaystyle ABC}. Immers, de hoeken bij A zijn dezelfde, en beide driehoeken hebben ook een rechte hoek, bij D resp. C.

Op dezelfde manier blijkt dat driehoek {\displaystyle CBD} gelijkvormig is aan driehoek {\displaystyle ABC}. Er dus drie gelijkvormige driehoeken. Wordt gekeken naar de verhoudingen van de lengtes van de zijden van de driehoeken, dan ziet men dat die gelijk zijn aan {\displaystyle a:b:c}, precies de schuine zijden van de drie driehoeken. Dat betekent dat de oppervlaktes van de driehoeken zich verhouden als {\displaystyle a^{2}:b^{2}:c^{2}}, de kwadraten van de verhoudingen van de zijden. Omdat duidelijk is dat {\displaystyle \mathrm {Opp} \,CBD+\mathrm {Opp} \,ACD=\mathrm {Opp} \,ABC}, geldt kennelijk voor een bepaald getal k dat {\displaystyle ka^{2}+kb^{2}=kc^{2}}. De stelling van Pythagoras volgt door deling door k.

Bewijzen zonder woorden

Hoewel geen formeel bewijs, is het bewijs zonder woorden een populaire manier om de geldigheid van een stelling te visualiseren zonder daarbij tekst te gebruiken. Ook van de stelling van Pythagoras zijn diverse bewijzen zonder woorden bekend, met name zogenaamde puzzelstukjesbewijzen. Enkele voorbeelden staan hieronder.