Driehoeken
Een driehoek is een vlak figuur met drie hoeken en drie zijden.
Je ziet driehoek \(\small{\text{ABC}}\).
In plaats van driehoek \(\small{\text{ABC}}\) schrijf je ook wel \(\small{\bigtriangleup \text{ABC}}\).
De zijden van de driehoek zijn \(\small{\text{AB}}\), \(\small{\text{BC}}\) en \(\small{\text{AC}}\).
De hoeken van de driehoek zijn \(\small{\angle \text{A}}\), \(\small{\angle \text{B}}\) en \(\small{\angle \text{C}}\).
In iedere driehoek geldt dat de drie hoeken samen \(\small{180^\circ}\) zijn.
Voorbeeld
Van de driehoek \(\small{\text{ABC}}\) is \(\small{\angle \text{A} = 132^\circ}\) en \(\small{\angle \text{B} = 20^\circ}\).
Hoe groot is \(\small{\angle \text{C}}\)?
\(\small{\angle \text{C} = 180^\circ -132^\circ - 20^\circ = 28^\circ}\)
Gelijkbenige driehoek
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met:
- twee gelijke zijden
- twee gelijke hoeken
- één symmetrieas
De symmetrieas gaat door de tophoek.
Voorbeeld
Driehoek \(\small{\text{PQR}}\) is een gelijkbenige driehoek.
De tophoek \(\small{\angle \text{R} = 52^\circ}\).
Bereken \(\small{\angle \text{P}}\) en \(\small{\angle \text{Q}}\).
\(\small{\angle \text{P}}\) en \(\small{\angle \text{Q}}\) zijn samen \(\small{180^\circ - 52^\circ = 128^\circ}\)
Driehoek \(\small{\text{PQR}}\) is een gelijkbenige driehoek, dus \(\small{\angle \text{P} = \angle \text{Q}}\).
\(\small{\angle \text{P} = \angle \text{Q} = 128^\circ : 2 = 64^\circ}\)
Gelijkzijdige driehoek en rechthoekige driehoek
Een gelijkzijdige driehoek is een bijzondere gelijkbenige driehoek. Een gelijkzijdige driehoek heeft:
- drie gelijke zijden
- drie gelijke hoeken
- drie symmetrieassen
De drie hoeken van een gelijkzijdige driehoek zijn \(\small{180^\circ : 3 = 60^\circ}\)
Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één van de hoeken \(\small{90^\circ}\) is.
Voorbeeld
Driehoek \(\small{\text{ABC}}\) is een rechthoekige driehoek met \(\small{\angle \text{A} = 90^\circ}\) en \(\small{\angle \text{B} = 42^\circ}\).
Hoe groot is \(\small{\angle \text{C}}\)?
\(\small{\angle \text{C} = 180^\circ - 90 ^\circ - 42^\circ = 48^\circ}\)
Stelling van Pythagoras
In iedere rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras.
Voorbeeld
\(\small{\bigtriangleup \text{ABC}}\) is een rechthoekige driehoek met \(\small{\angle \text{A} = 90 ^\circ}\)
en \(\small{\text{AB} = 5}\) en \(\small{\text{AC} = 3}\).
Bereken de lengte van zijde \(\small{\text{BC}}\).
- Maak een schema met de rechthoekszijden (rhz) en de schuine zijde (sz).
- Vul de lengte van de rechthoekszijden in.
- Vul de kwadraten in.
- Tel de kwadraten bij elkaar op.
- Bereken de lengte van \(\small{\text{BC}}\).
\(\small{\text{BC} = \sqrt{34} \approx 5\text{,}8}\)
Rechthoekzijde berekenen
Soms moet je één van de rechthoekzijden uitrekenen.
Voorbeeld
\(\small{\bigtriangleup \text{ABC}}\) is een rechthoekige driehoek met \(\small{\angle \text{C} = 90^\circ}\) en \(\small{\text{AB} = 6}\) en \(\small{\text{BC} = 4}\).
Bereken de lengte van zijde \(\small{\text{AC}}\).
- Maak een schema met de rechthoekszijden (rhz) en de schuine zijde (sz).
- Vul de lengte van de rechthoekszijden in.
- Vul de kwadraten in.
- Trek de kwadraten van elkaar af.
- Bereken de lengte van \(\small{\text{AC}}\).
\(\small{\text{AC} = \sqrt{20} \approx 4\text{,}5}\)
Oppervlakte driehoek
Voor de oppervlakte van een driehoek geldt:
\(\small{\text{oppervlakte driehoek} = \frac{1}{2} \times \text{zijde} \times \text{hoogte}}\)
Let op: de \(\small{\text{hoogte}}\) staat altijd loodrecht op de \(\small{\text{zijde}}\).
Hiernaast zie je driehoek \(\small{\text{KLM}}\) met \(\small{\text{LM} = 10}\).
In de driehoek is een hoogtelijn \(\small{\text{KN}}\) op \(\small{\text{LM}}\) getekend; \(\small{\text{KN} = 4\text{,}6}\).
Bereken de oppervlakte van de driehoek \(\small{\text{KLM}}\).
\(\small{\text{oppervlakte} \bigtriangleup\text{KLM} =\frac{1}{2}\times \text{zijde} \times \text{hoogte}}\)
\(\small{\text{oppervlakte} \bigtriangleup\text{KLM} =\frac{1}{2} \times 10 \times 4\text{,}6}\)
\(\small{\text{oppervlakte} \bigtriangleup\text{KLM} =23}\)
