Irrationale getallen

Indeling van getallen

Op de basisschool begin je bij rekenen met de getallen 0, 1, 2, 3 enz.  
Dit noem je de natuurlijke getallen.  
Het zijn dus alle positieve gehele getallen en het getal 0.
Als je daar ook nog -1, -2, -3, … aan toevoegt spreek je over de gehele getallen.

Rationale getallen zijn de getallen die we gewoonlijk ‘breuken’ noemen.  
De teller en noemer bestaan altijd uit gehele getallen.  
Als je een rationaal getal schrijft als decimaal getal, zullen de decimalen òf na een bepaald aantal stoppen, òf gaan repeteren (herhalen).
Bijvoorbeeld:

  • \(\scriptsize{7\over 8}\) = 0,875
    Er zijn drie decimalen.
     
  • \(\scriptsize{5\over 11 }\) = 0,45454545…
    Dit is een repeterende breuk, ‘45’ komt steeds terug.
     
  • \(\scriptsize{15\over 7}\) = 2,142857142857142857…
    Ook dit is een repeterende breuk. Als je goed kijkt zie je dat ‘142857’ repeteert.
     
  • 12 = \(\scriptsize{12\over 1}\) = 12,000…
    Dus ieder geheel getal is ook een rationaal getal!

Irrationele getallen

Deze kennisbank gaat over de irrationale getallen.
Een irrationaal getal is niet te schrijven als een breuk.
Het getal heeft een oneindig aantal decimalen dat niet repeteert.

Bijvoorbeeld:

  • Een bekend voorbeeld van een irrationaal getal is p. Decimaal geschreven wordt dat: 3,141592653589….
    Hoeveel decimalen je ook noteert, ze gaan nooit repeteren.
  • De wortel van een priemgetal is altijd een irrationaal getal.
    (Een priemgetal is een getal groter dan 1, wat alleen deelbaar is door 1 of door zichzelf. Bijvoorbeeld: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …)
    \(\sqrt{2} ≈\) 1,4142135624…
    \(\sqrt{3} ≈\) 1,7320508076…
    Ook bij deze wortels komt er geen patroon in de decimalen.

Geschiedenis

De ontdekking van het bestaan van irrationale getallen wordt vaak toegeschreven aan de Pythagoreeërs.  
Zij geloofden eerst dat alle getallen als een breuk konden worden geschreven.
Het was een grote schok in de wiskundige wereld toen bleek dat \(\sqrt{2}\) een irrationaal getal is!

 

aantonen
Hoe weet je eigenlijk zeker dat een getal een irrationaal getal is?  
Dus hoe weet je zeker dat er geen herhaling komt in de cijfers achter de komma?
Heel simpel: dat is voor jullie nu te ingewikkeld om aan te kunnen tonen.  
Misschien als je ooit wiskunde gaat studeren…
Sterker nog: er zijn zelfs getallen waarvan voor wiskundigen nog onduidelijk is of ze rationaal of irrationaal zijn.

Voor nu moet je weten dat een getal irrationaal is:

  • als het π is;
  • als je geen regelmaat kunt ontdekken in de decimalen;
  • als het de wortel van een priemgetal is.

  • Het arrangement Irrationale getallen is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2025-08-18 19:11:48
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    De Kennisbanken bevatten de theorie bij de opdrachten.
    Leerinhoud en doelen
    Rekenen/wiskunde;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van