Theorie 1 Trillingen: Afleiding formules voor uitwijking, snelheid en versnelling

Download docentenhandleiding van dit practicum als pdf

In dit theorieblad leer je hoe de formule eruit ziet van een harmonische trilling.

De formule voor de plaatst van een trilling ziet er als volgt uit:

\(u(t)=A⋅sin(2π⋅f⋅t)=A⋅sin(ω⋅t)\) [1]

In deze formule is:

u(t) de uitwijking/positie van het blok of het deeltje
A = de amplitude (in m)
f = de frequentie (in Hz)
t = de tijd (in s)
\(ω=2π⋅f=2πT\) = de hoeksnelheid (in radialen/s)

Het geheel tussen de haakjes (\(2π⋅f ⋅t = ω⋅t\)) wordt de fase genoemd. Dit geeft aan waar je bent in de trilling. Je kunt dit berekenen door de hoeksnelheid ω te vermenigvuldigen met de tijd.

Hierboven staan de diagrammen die behoren bij een trilling met een amplitude van 0,2 m en de trillingstijd is 0,4 s ( geeft een frequentie van 2,5 Hz). Met deze gegevens kunnen je de formule voor de uitwijking opstellen:

\(u(t)=0,2⋅sin(2π⋅2,5⋅t)=0,2⋅sin(15,7⋅t)\)

Met 15,7 in rad/s en 0.2 in m.

De formule van de snelheid kun je krijgen door de afgeleide te nemen van de formule voor de plaats. Bij mechanica heb je geleerd dat de helling in het (x,t) diagram de snelheid geeft. De helling van een formule is de afgeleide.

Dit geeft de volgende formule voor de snelheid:

\( v(t) =A ⋅2 π⋅f ⋅cos(2π⋅f⋅t) \)

\(=0,2⋅2π⋅2,5⋅cos(2π⋅2,5⋅t) \)

\(=π⋅cos(2π⋅2,5⋅t) \)

\(=π⋅cos(15,7⋅t)\)

Je krijgt deze formule door de kettingregel toe te passen. Uit bovenstaande formule blijkt dat de maximale snelheid gelijk is aan:

\(v_{max}=A⋅2π⋅f=\frac{2π⋅A}{T}=ω⋅A\)

Op dezelfde manier kunnen we door nogmaals differentiëren de formule afleiden voor de versnelling. Je moet dan de afgeleide nemen van de formule voor de snelheid.

\(a(t)=-A⋅(2π)^2⋅f^2⋅sin(2π⋅f⋅t)=-A⋅4π^2⋅f^2⋅sin(2π⋅f⋅t)\) [2]

Dit geeft voor de maximale versnelling:

\(a_{max}=A⋅4π^2⋅f^2=\frac{A⋅4π^2}{T^2} =ω^2⋅A\)

Vergelijk formule 1 en 2. Je ziet dat een groot deel overeenkomt:

\( a(t) =-A⋅(2π)^2⋅f^2⋅sin(2π⋅f⋅t) \)

\(=- (2π)^2⋅f^2⋅A⋅sin(2π⋅f⋅t) \)

\(=- (2π)^2⋅f^2⋅u(t)\)

Dit betekent dat de versnelling recht evenredig is met de uitwijking maar wel met een tegengesteld teken (zie ook figuur vorige pagina). De kracht is echter ook recht evenredig met de versnelling. Dit betekent dat de kracht ook recht evenredig is met de uitwijking maar ook met een tegengesteld teken:

\(F(t)=-C⋅u(t)\) met \(C=4π^2⋅m⋅f^2=\frac{m⋅4π^2}{T^2} =m⋅ω^2\) [3]

Deze relatie geldt alleen als de trilling een harmonische trilling is. Hij geldt ook anders om: als de kracht recht evenredig is aan de uitwijking maar met een tegengesteld teken dan is het een harmonische trilling.

Opdrachten

Toon aan dat de hoeksnelheid ω gelijk is aan 15,7 rad/s
Toon aan dat \(v_{max}=3,14\) m/s en dat \(a_{max}=49,3\) m/s²
Toon aan dat de maximale versnelling gelijk is aan \(ω^2⋅A\).
Bereken de plaats, snelheid en versnelling op t=0,30 s. (Zorg ervoor dat je rekenmachine in radialen staat). Controleer in de figuur op de vorige pagina.
Toon aan dat ook op t=0,30 s geldt dat \(a(0,30)=- ω^2⋅u(0,30)\)
Leidt af uit formule 3 de formule voor de trillingstijd van een massa-veersysteem

Colofon

Het arrangement Theorie 1 Trillingen: Afleiding verband u(t), v(t) en a(t) is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

Auteur: Modeldidactiek
Laatst gewijzigd: 2024-12-17 12:38:59
Licentie: Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat

het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken

voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

Toelichting: Onderwerp: Afleiding formules voor uitwijking, snelheid en versnelling
Eindgebruiker: leerling/student
Moeilijkheidsgraad: gemiddeld
Studiebelasting: 4 uur 0 minuten
Trefwoorden: iol, modeldidactiek, nvon, trillingen

Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

Modeldidactiek. (z.d.).

Werkblad 4 Trillingen: Begripsvragen over een massa-veersysteem

https://maken.wikiwijs.nl/209765/Werkblad_4_Trillingen__Begripsvragen_over_een_massa_veersysteem

Downloaden

Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

Metadata

Metadata overzicht (Excel)

LTI

Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

Arrangement

IMSCC package

Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

IMSCC package

Voor developers

Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.