Wiskunde P2.2 N3

Wiskunde P2.2 N3

Lesplanner P...

PDF openen in nieuw tabblad

Machten les 1

lesdoelen

Aan het einde van de les:

  • kan je eenvoudige machten vereenvoudigen door middel van
    • vermenigvuldigen
    • delen

Instructie

Macht, grondtal en exponent.

Vermenigvuldigen van machten

Delen van machten

Aantekeningen

Opdrachten

Machten les 2

lesdoelen

Aan het einde van de les:

  • kan je eenvoudige machten vereenvoudigen door middel van
    • vermenigvuldigen
    • delen
    • optellen
    • aftrekken
  • kan je machten van machten berekenen
  • kan je bovenstaande combineren

Instructie

Letterrekenen (werkt hetzelfde voor machten)

Optellen van machten

Aantekeningen

Opdrachten

Machten les 3

lesdoelen

Aan het einde van de les:

  • kan je machten afronden
  • beheers je alle vormen van vereenvoudigen van machten

Instructie

Aantekeningen

Opdrachten

Wortels les 1

Benodigde voorkennis:

- Je moet kunnen letterrekenen

- Je moet de rekenvolgorde uit je hoofd kennen

- Je moet basisvaardig zijn in hoofdrekenen

- Je moet basisvaardig zijn in het afronden

 

Leerdoelen

Aan het einde van dit hoofdstuk kan je:

- zonder rekenmachine eenvoudige wortels vereenvoudigen

- met je rekenmachine wortels uitrekenen

- antwoorden van wortels correct afronden

1. Vermenigvuldigen en delen van wortels

Uitlegvideo Wiskundeacademie

Hoe vermenigvuldig je twee wortels met elkaar? Dit gaan we onderzoeken:

\(2*2=4 \)

We weten ook dat \(\sqrt{4} \) gelijk is aan \(2 \). Ook weet je vast dat \(\sqrt{16}\) gelijk is aan \(4\). We kunnen dan de volgende vergelijking opstellen door de wortels in het 1e voorbeeld in te vullen:

\(\sqrt{4}*\sqrt{4}=\sqrt{16}\)

Aangezien \( 16\) gelijk is aan \( 4*4\) kunnen we ook dit vervangen:

\(\sqrt{4}*\sqrt{4}=\sqrt{4*4}\)

Vermenigvuldigen van wortels doe je dus door de getallen/letters onder de wortel met elkaar te vermenigvuldigen en hierover de wortel te nemen: \(\color{blue}{\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{ab}}\)

Stel we hebben de volgend opgave:

\(\sqrt{4}*\sqrt{9}=\)

Met de rekenregel die we net hebben geleerd krijgen we dan:

\(\sqrt{4}*\sqrt{9}=\sqrt{4*9}=\sqrt{36}=6\)

Wanneer we de afzonderlijke wortels hadden uitgerekend kwamen we ook op het goede antwoord:

\(\sqrt{4}*\sqrt{9}=2*3=6\)

Wederom zien we dat de rekenregel voor het vermenigvuldigen klopt.

Wanneer je een opgave hebt waar geen rond getal uit komt:

\(\sqrt{5a}*\sqrt{4}=\)

Laten we de wortel gewoon staan:

\(\sqrt{5a*4}=\sqrt{20a}\)

Opdracht 1.1

Pas de rekenregel voor het vermenigvuldigen toe op de ondestaande opgaven. Schrijf eerst als één wortel en reken daarna waar mogelijk de wortel uit.

  1. \(\sqrt{2}*\sqrt{2}=\)
  2. \(\sqrt{5}*\sqrt{20}=\)
  3. \(\sqrt{5}*\sqrt{25}*\sqrt{80}=\)
  4. \(\sqrt{b}*\sqrt{d}=\)
  5. \(\sqrt{8a}*\sqrt{2b}=\)

Wanneer we wortels gaan delen mogen we net zoals bij het vermenigvuldigen de deling binnen 1 wortel schrijven:

\(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{4}}=\sqrt{\frac{8}{4}}=\sqrt{2}\)

De rekenregel die daarbij hoort is: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)

Opdracht 1.2

Pas de rekenregel voor het delen toe op de ondestaande opgaven:

  1. \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\)
  2. \(\frac{\sqrt{2p}}{\sqrt{p}}=\)
  3. \(\frac{\sqrt{200}}{\sqrt{25}}=\)
  4. \(\sqrt{b}/\sqrt{d}=\)
  5. \(\frac{\sqrt{8a}}{\sqrt{2b}}=\)

Opdracht 1.3

Pas de rekenregel voor het herleiden van wortels toe op onderstaande opgaven:

  1. \(\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}}*\sqrt{7}=\)
  2. \(\frac{\sqrt{2p}*\sqrt{4}}{\sqrt{p}}=\)
  3. \(\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{3b}*\sqrt{4c}}=\)
  4. \(\sqrt{x}/\sqrt{x}*\sqrt{a}=\)
  5. \(\frac{\sqrt{8a}*\sqrt{4b}}{\sqrt{2a}}=\)

Samenvatting

  • Rekenregel voor het vermenigvuldigen van wortels:\(\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
  • Rekenregel voor het delen van wortels: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)
  • Beide regels kunnen door elkaar gebruikt worden

2. Afronden van wortels

Wanneer je de volgende opgave met je rekenmachine uitrekend:

\(\sqrt[3,6]{2,06}=1,22232...\)

Dan zul je het antwoord moeten afronden. Hierbij kijk je naar de minste aantal signicante cijfers. De 3,6 in bovenstaande opgave heeft 2 significante cijfers. Het antwoord ronden we af op evenveel significante cijfers:

\(\sqrt[{\color{red}{3,6}}]{2,06}={\color{red}{1,2}} \)

Wortels rond je af op het minste aantal significante cijfers (net zoals bij machten, vermenigvuldigen en delen).

Aangezien we zowel bij wortels en o.a. delen naar de significante cijfers kijken, kunnen we de volgende opave juist afronden:

\(\frac{\sqrt[3,603]{2,662}}{\color{red}{3,12}}=0,\color{red}{418}827=0,\color{red}{419}\)

Aangezien het cijfer na de significante cijfers een 5 of hoger is (namelijk een 8), hebben we naar boven afgerond.

Let op! We laten ook bij het afronden van wortels constanten buiten beschouwing bij het bepalen van het minst aantal significante cijfers.

opdracht 2.1

Reken uit met je rekenmachine en rond af:

  1. \(\sqrt[3,16]{2,6}=\)
  2. \(\sqrt[0,12]{16,3}=\)
  3. \(\sqrt[5,14]{34}=\)
  4. \(18,15*\sqrt[2,66]{9,87}=\)
  5. \(\sqrt[7,026]{\frac{2,62}{8,900}}=\)​

 

Samenvatting

  • Wortels rond je af op het minste aantal significante cijfers (net zoals bij machten, vermenigvuldigen en delen)
  • constanten laten we buiten beschouwing bij het bepalen van het minst aantal significante cijfers.

3. Antwoorden opdrachten

Opdracht 1.1

  1. \(\sqrt{2*2}=\sqrt{4}=2\)
  2. \(\sqrt{5*20}=\sqrt{100}=10\)
  3. \(\sqrt{10000}=100\)
  4. \(\sqrt{bd}\)
  5. \(\sqrt{16ab}=\sqrt{16}*\sqrt{ab}=4\sqrt{ab}\)

 

Opdracht 1.2

  1. \(\sqrt{12/3}=\sqrt{4}=2\)
  2. \(\sqrt{\frac{2p}{p}}=\sqrt{2}\)
  3. \(\sqrt{8}=(\sqrt{4*2}=\sqrt{4}*\sqrt{2}=2*\sqrt{2}=2\sqrt{2})\)
  4. \(\sqrt{b/d}\)
  5. \(\sqrt{\frac{4a}{b}}\)

 

Opdracht 1.3

  1. \(\sqrt{2}*\sqrt{7}=\sqrt{14}\)
  2. \(\frac{\sqrt{2p*4}}{\sqrt{p}}=\frac{\sqrt{8p}}{\sqrt{p}}=\sqrt{8}\)
  3. \(\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{12bc}}=\sqrt{\frac{2a}{12bc}}=\sqrt{\frac{a}{6bc}}\)
  4. \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}*\sqrt{a}=\sqrt{a}\)
  5. \(\sqrt{16b}\)

opdracht 2.1

  1. \(1,35...=1,4\)
  2. \(1,26...*10^{10}=1,3*10^{10}\)
  3. \(1,98...=2,0\)
  4. \(42,92...=42,9\)
  5. \(0,8402...=0,840 \)

4. Samenvatting

1. Vermenigvuldigen en delen van wortels

  • Rekenregel voor het vermenigvuldigen van wortels:\(\sqrt{a}*\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
  • Rekenregel voor het delen van wortels: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)

2. Afronden van wortels

  • Wortels rond je af op het minste aantal significante cijfers (net zoals bij machten, vermenigvuldigen en delen)
  • constanten laten we buiten beschouwing bij het bepalen van het minst aantal significante cijfers.

Machten & Wortels

Benodigde voorkennis:

- Je moet kunnen letterrekenen

- Je moet de rekenvolgorde uit je hoofd kennen

- Je moet basisvaardig zijn in hoofdrekenen

- Je moet basisvaardig zijn in het afronden

- Je bent vaardig in het toepassen van de machtenregels

- Je bent vaardig in het toepassen van de wortelregels

 

Leerdoelen

Aan het einde van dit hoofdstuk kan je:

- zonder rekenmachine eenvoudige machten omschrijven in wortels

- zonder rekenmachine eenvoudige wortels omschrijven in machten

1. Wortels schrijven als macht

Waneer we een simpele wortel hebben:

\(\sqrt{9}=3\)

Dan noteren we niet alles. We hebben de afspraak gemaakt dat wanneer we 'tweedemachts wortel' nemen, we de 2 weglaten. Netzoals we dat doen met de macht, de 1, van de negen. Maar eigenlijk staat er:

\(\sqrt[2]{9^1}=3\)

Aangezien wortels en machten elkaar tegenovergestelde bewerking zijn, weten we dat bovenstaande vergelijking klopt. Want:

\(3^2=9^1 \)

Wanneer we in de originele functie de \(9\) schijven als een kwadraad van \(3\) dan zien we dat de 'macht van de wortel' en de 'exponent van de macht' elkaar opheffen.

\(\sqrt[2]{3^2}=3\)

Eigenlijk word de 'exponent van de macht' gedeeld door de 'macht van de wortel':

\(\sqrt[\color{red}2]{3^\color{green}2}=3^{\frac{\color{green}2}{\color{red}2}}=3^1=3\)

Wortels kunnen we in machten omschrijven met de regel: \(\sqrt[u]{a^c}=a^{\frac{c}{u}}\)

Bovenstaande regel geldt voor alle wortels. Zo is:

\(\sqrt{7}=\sqrt[\color{red}2]{7^\color{green}1}=7^{\frac{\color{green}1}{\color{red}2}}\)

Soms is het nog wel nodig om de macht te vereenvoudigen. In dit geval de breuk van de exponent:

\(\sqrt{a^4}=\sqrt[\color{red}2]{a^\color{green}4}=a^{\frac{\color{green}4}{\color{red}2}}=a^2 \)

Opdracht 1.1

Schrijf de volgende wortels om naar een macht

  1. \(\sqrt{5}= \)
  2. \(\sqrt{b^2}=\)
  3. \(\sqrt{6^4}=\)
  4. \(\sqrt{d^5}=\)
  5. \(\sqrt{5^2a}=\)

Wanneer we te maken hebben met 'hogeremachts' wortels zoals \(\sqrt[3]{a}\) veranderd er niets aan de regel:

\(\sqrt[\color{red}3]{a}=\sqrt[\color{red}3]{a^\color{green}1}=a^{\frac{\color{green}1}{\color{red}3}}\)

Soms is het wel nodig om de breuk iets te vereenvoudigen:

\(\sqrt[\color{red}3]{a^\color{green}8}=a^{\frac{\color{green}8}{\color{red}3}}=a^{2\frac{2}{3}}\)

Opdracht 1.2

Schrijf de volgende wortels om naar een macht

  1. \(\sqrt[3]{5}= \)
  2. \(\sqrt[4]{b^2}=\)
  3. \(\sqrt[2,5]{6^{7,5}}=\)
  4. \(\sqrt[1]{d^5}=\)
  5. \(\sqrt[10]{5^2a}=\)

Wanneer we complexere opgaves hebben die omgeschreven moeten worden naar een macht:

\(\frac{1}{\sqrt{x}}=\)

Dan is het belangrijk dat we als eerste stap de wortel schrijven als macht:

\(\frac{1}{\sqrt[\color{red}2]{x^\color{green}1}}=\frac{1}{x^{\frac{\color{green}1}{\color{red}2}}}=\)

Want vanaf dat moment kunnen we de rekenregels gebruiken voor machten (bijvoorbeeld \(\frac{1}{a^p}=a^{-p}\)):

\(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=x^{-\frac{1}{2}}\)

Opdracht 1.3

Herleid de volgende opgaven tot een macht:

  1. \(\sqrt{x}*x^2=\)
  2. \(\frac{3^2}{\sqrt{3}}=\)
  3. \(\frac{\sqrt{x}}{x}=\)
  4. \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\)
  5. \(\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[5]{x^4}}=\)

 

2. Machten schrijven als wortel

De regel die geldt voor het omschrijven van wortels naar machten, werkt andersom ook:

\(x^{1\frac{1}{3}}=x^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{x^4}\)

Dat dit klopt kunnen we met machten bewijzen:

\(x^{\frac{4}{3}}*x^{\frac{4}{3}}*x^{\frac{4}{3}}=x^{\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{4}{3}}=x^4\)

Wanneer we machten omschrijven naar wortels geldt: \(a^{\frac{c}{u}}=\sqrt[u]{a^c}\)

Opdracht 2.1

Schrijf de volgende machten als wortels en vereenvoudig zo ver mogelijk

  1. \(x^{\frac{1}{2}}=\)
  2. \(5^{\frac{2}{7}}=\)
  3. \(9^{\frac{1}{2}}=\)
  4. \((ab)^{\frac{1}{2}}=\)
  5. \((3^2)^{\frac{1}{2}}=\)

 

 

 

 

3. Antwoorden opdrachten

Opdracht 1.1

Schrijf de volgende wortels om naar een macht

  1. \(\sqrt[2]{5^1}=5^{\frac{1}{2}}\)
  2. \(b^{\frac{2}{2}}=b^1=b\)
  3. \(6^\frac{4}{2}=6^2\)
  4. \(d^{\frac{5}{2}}=d^{2\frac{1}{2}}\)
  5. \(\sqrt{5^2a}=\sqrt[2]{5^2a^1}=5^\frac{2}{2}a^\frac{1}{2}=5^1a^\frac{1}{2}=5a^\frac{1}{2}\)

 

Opdracht 1.2

Schrijf de volgende wortels om naar een macht

  1. \( \sqrt[3]{5^1}=5^\frac{1}{3} \)
  2. \(b^\frac{2}{4}=b^\frac{1}{2}\)
  3. \(6^\frac{7,5}{2,5}=6^3(=216)\)
  4. \(d^\frac{5}{1}=d^5\)
  5. \(\sqrt[10]{5^2a^1}=5^\frac{2}{10}a^\frac{1}{10}=5^\frac{1}{5}a^\frac{1}{10}\)

 

Opdracht 1.3

Herleid de volgende opgaven tot een macht:

  1. \(x^\frac{1}{2}*x^2=x^{2\frac{1}{2}}\)
  2. \(\frac{3^2}{3^\frac{1}{2}}=3^{2-\frac{1}{2}}=3^{1\frac{1}{2}}\)
  3. \(\frac{x^\frac{1}{2}}{x^1}=x^{\frac{1}{2}-1}=x^{-\frac{1}{2}}\)
  4. \(\frac{1}{3\frac{1}{2}}=3^{-\frac{1}{2}}\)
  5. \(\frac{x^\frac{2}{3}}{x^\frac{4}{5}}=x^{\frac{2}{3}-\frac{4}{5}}=x^{\frac{10}{15}-\frac{12}{15}}=x^{-\frac{2}{15}}\)

Opdracht 2.1

Schrijf de volgende machten als wortels en vereenvoudig zo ver mogelijk

  1. \(\sqrt{x}\)
  2. \(\sqrt[7]{5^2}=\sqrt[7]{25}\)
  3. \(\sqrt{9}=3\)
  4. \(\sqrt{ab}\)
  5. \(\sqrt{3^2}=3\)

4. Samenvatting

  • Wortels en machten kunnen we in elkaar omschrijven met de regel: \(\sqrt[u]{a^c}=a^{\frac{c}{u}}\)
  • Wanneer je een wortel naar een macht omschrijft, kan je vervolgens alle regels van machten gebruiken om de opdracht verder te vereenvoudigen/herleiden.

Alle machten regels op een rijtje:

  • \(a^p*a^q=a^{p+q}\)
  • \(\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\)
  • \((a^p)^q=a^{pq}\)
  • \(a^1=0 \) (onder voorwaarde dat a niet gelijk is aan 0)
  • \(a^{-p}=\frac{1}{a^p}\)
  • \(a^{\frac{c}{u}}=\sqrt[u]{a^c}\)

Isoleren les 1

lesdoelen

Aan het einde van de les:

  1. Is je voorkennis m.b.t. isoleren opgehaald (P2.1)
  2. Kan je eenvoudige opgaven oplossen waarbij de onbekende in de noemer staat

instructie

Opdrachten

Opdracht 1

Isoleer x

  1. \(\frac{1}{x}=3\)
  2. \(\frac{20}{x}-4=1\)
  3. \(\frac{3a}{x}=2\)
  4. \(\frac{8}{x+t}=2\)
  5. \(\frac{8}{x+2}=p\)

 

Antwoorden

Opdracht 1

Isoleer x

  1. \(x=\frac{1}{3}\)
  2. \(x=4\)
  3. \(x=1,5a\)
  4. \(x=4-t\)
  5. \(x=\frac{8}{p}-2\)

Isoleren les 2

lesdoelen

aan het einde van de les:

  1. kan je vergelijkingen oplossen waarbij de onbekende in de noemer staat
  2. kan je dit ook doormiddel van het omklappen van de breuken

Instructie

Opdrachten

Isoleren les 3

lesdoelen

aan het einde van de les:

  1. kan je de onbekende isoleren uit gecombineerde vergelijkingen

Opdrachten

Snijpunten les 1

lesdoelen

aan het einde van de les:

  1. heb je de kennis m.b.t. het berekenen van snijpunten tussen lineaire functies opgehaald
  2. begrijp je methode 1 (gelijkstellen) en kan je deze toepassen
  3. Begrijp je methode 3 (oplossen van een stelsel van vergelijkingen) bij simpele functies en kan je deze toepassen

Instructie

Snijpunten berekenen d.m.v. gelijkstellen

Opdrachten

Snijpunten les 2

lesdoelen

aan het einde van de les:

  1. Begrijp je methode 3 (stelsel van vergelijking oplossen) en kun je deze toepassen

Instructie

Snijpunten berekenen d.m.v. het oplossen van een stelsel van vergelijkingen

Opdrachten

Snijpunten les 3

lesdoelen

aan het einde van de les:

  1. begrijp je de methodes van het snijpunten berekenen tussen lineaire functies en kun je deze toepassen

Opdrachten

Snijpunten les 4

lesdoelen

Aan het einde van de les:

  1. kan je stelsels oplossen van twee vergelijkingen met twee onbekenden

Opdrachten

Oefentoets

Rekenexamen

https://oefenen.facet.onl/facet/pages/oefen/mbo/?menu=3_1
Oefenen rekenexamens