Kennisbank Wiskunde vmbo-b34

Kennisbank Wiskunde vmbo-b34

KB Wiskunde vmbo-b34

Inleiding

Welkom bij de Kennisbank Wiskunde onderbouw vmbo-kgt12.
Over de belangrijkste onderwerpen vind je op deze website uitleg en oefeningen.
De leerstof is onderverdeeld in acht hoofdstukken:

  • rekenen
  • meten en tekenen
  • grafieken en formules
  • informatieverwerking

Om van start te gaan kies je hiernaast een van deze acht hoofdstukken.
Kies vervolgens een van de beschikbare items. Het item opent zich in een popup.

Deze Kennisbank is het best te bekijken met:
- Google Chrome
- Mozilla Firefox
- Safari

Veel succes.

Rekenen

Afronden, schatten, rekenregels

Afronden

Soms wil je een kommagetal op een geheel getal afronden.
Je kijkt dan naar het eerste cijfer achter de komma. Je rondt:

  • naar beneden af als het eerste cijfer achter de komma een \(\small{0}\), \(\small{1}\), \(\small2\), \(\small3\) of \(\small4\) is,
  • naar boven af als het eerste cijfer achter de komma een \(\small5\), \(\small6\), \(\small7\), \(\small8\) of \(\small9\) is.

\(\small{2\text{,}3}\) wordt \(\small2\)
\(\small{6\text{,}5}\) wordt \(\small{7}\)
\(\small{4\text{,}7}\) wordt \(\small{5}\)
\(\small{8\text{,}4}\) wordt \(\small8\)

Bij afronden op twee cijfers achter de komma geldt dat je:

  • naar beneden afrondt als de derde decimaal een \(\small0\), \(\small1\), \(\small2\), \(\small3\) of \(\small4\) is,
  • naar boven afrondt als de derde decimaal een \(\small5\), \(\small6\), \(\small7\), \(\small8\) of \(\small9\) is.

\(\small{2\text{,}353}\) wordt \(\small{2\text{,}35}\)
\(\small{6\text{,}5429}\) wordt \(\small{6\text{,}54}\)
\(\small{4\text{,}728}\) wordt \(\small{4\text{,}73}\)
\(\small{8\text{,}499}\) wordt \(\small{8\text{,}5}\)

Schatten

Als je de uitkomst van een berekening wilt schatten, rond je de getallen af op getallen waarmee je gemakkelijker kunt rekenen.

Voorbeelden

  • \(\small{51\text{,}34 + 23\text{,}9 \approx 50 + 25 = 75}\)
  • \(\small{103 \times 48 \approx 10 \times 50 = 5000}\)
  • \(\small{1004: 253 \approx 1000: 250 =4}\)

Soms moet je de maat van iets schatten.
Je vergelijkt dan met een maat die bekend is. Bijvoorbeeld:

  • een volwassen man is iets minder dan \(\small2\) m
  • de afstand van Amsterdam naar Utrecht is iets meer dan \(\small50\) km
  • een voetbalveld is ongeveer \(\small50\) m bij \(\small100\) m \(\small{= 5000}\) m2
  • een volwassen man weegt ongeveer \(\small80\) kg
  • een auto op de snelweg rijdt ongeveer \(\small100\) km/uur
  • een pak melk heeft een inhoud van \(\small1\) L

Rekenregels

Bij rekenen gelden de voorrangregels:

  • eerst uitrekenen wat tussen haakjes staat,
  • dan vermenigvuldigen of delen
  • dan optellen of aftrekken.

 

Voorbeelden

  • \(\small{8 +3 \times 6 = 8 + 18 =26}\)
  • \(\small{12 - 36 : 9 =12 - 4 = 8}\)
  • \(\small{(8+3) \times 6 = 11 \times 6 = 66}\)

Staan er in een breuk in de teller en noemer bewerkingen, reken die dan eerst uit

  • \(\small{\frac{2 +6}{4} = \frac{8}{4} = 2}\)
  • \(\small{\frac{26-2}{3 \times 4} \times 4 = \frac{24}{12} \times 4 = 2 \times 4 = 8}\)

Verhoudingen

Verhouding

Een verhouding geeft een evenredig verband tussen twee variabelen weer.
In het dagelijks spraakgebruik kom je regelmatig verhoudingen tegen.

 

Voorbeelden

  • Vier van de vijf jongens zijn gek op voetbal.
  • Er zijn drie keer zoveel meisjes als jongens.
  • De verhouding van limonadesiroop en water is \(\small{1 : 6}\) (\(\small{1}\) staat tot \(\small{6}\)).
  • Eén centimeter op de kaart is in werkelijkheid \(\small{10}\) km.
  • Je hebt een kans van één op tien dat je gekozen wordt.

Verhoudingstabel

Een verhouding kun je weergeven in een verhoudingstabel.

 

Voorbeeld
Angelique heeft een kralenketting die bestaat uit witte en rode kralen. De verhouding tussen de witte en rode kralen is \(\small{2 : 3}\).

\(\small{\text{witte kralen}}\) \(\small{2}\) \(\small{4}\) \(\small{20}\) \(\small{10}\) \(\small{50}\)
\(\small{\text{rode kralen}}\) \(\small{3}\) \(\small{6}\) \(\small{30}\) \(\small{15}\) \(\small{75}\)

 

  • In de verhoudingtabel is het onderste getal steeds \(\small{1\text{,}5}\) keer zo groot als het bovenste getal.
  • In een verhoudingstabel kun je getallen in de onderste en de bovenste rij met hetzelfde getal vermenigvuldigen of door hetzelfde getal delen.
    De verhouding blijft \(\small{2:3}\).

Verhoudingen vergelijken

Met verhoudingstabellen kun je verhoudingen met elkaar vergelijken.

Voorbeeld

In supermarkt \(\small{\text{I}}\) betaal je voor \(\small{250}\) gram gehakt \(\small{\text{€ }3\text{,}20}\)
In supermarkt \(\small{\text{II}}\) betaal je voor \(\small{300}\) gram gehakt \(\small{\text{€ }3\text{,}85}\).

In welke supermarkt is het gehakt het goedkoopst?

Zet de prijzen en hoeveelheden in twee verhoudingstabellen.
Reken terug tot gelijke hoeveelheden of tot gelijk prijzen.

supermarkt \(\small{\text{I}}\)                                                                   

\(\small{\text{gewicht}}\) \(\small{250}\) \(\small{1}\)
\(\small{\text{prijs}}\) \(\small{320}\) \(\small{1\text{,}28}\)

 

supermarkt \(\small{\text{II}}\)                                                                                        

\(\small{\text{gewicht}}\) \(\small{300}\) \(\small{1}\)
\(\small{\text{prijs}}\) \(\small{385}\) \(\small{1\text{,}283}\)

 

Je ziet dat het gehakt in supermarkt \(\small{\text{I}}\) iets voordeliger is.

Op schaal

Kaarten zijn vaak 'op schaal' getekend.

Op schaal betekent dat er een verhouding is tussen de afstanden op de kaart en de afstanden in werkelijkheid.

Voorbeeld
Bekijk het kaartje

 

  • Bij het schaallijntje staat \(\small{20}\) km.
    Iets wat op de kaart net zo lang is als de schaallijn is dus in werkelijkheid \(\small{20}\) km.
  • Het schaallijntje is \(\small{4}\) cm lang.
    \(\small{1}\) cm op de kaart is dus in werkelijkheid \(\small{5}\) km \(\small{= 500.000}\) cm.
    De schaal van de kaart is \(\small{1:500.000}\) 
    Spreek uit: \(\small{1}\) staat tot \(\small{500.000}\).

 

Procenten

Procenten: een percentage uitrekenen

Vaak moet je een percentage uitrekenen. Dat kan op verschillende manieren.

Voorbeeld

Je wilt uitrekenen hoeveel \(\small{24 \%}\) van \(\small{750}\) is.

Manier 1

  • Schrijf het percentage als een kommagetal: \(\small{24 \% = 0\text{,}24}\)
  • Voer de vermenigvuldiging uit: \(\small{0\text{,}24 \times 750 = 180}\)
  • Dus \(\small{24 \%}\) van \(\small750\) is \(\small180\)


Manier 2

  • Reken eerst \(\small{1 \%}\) uit: \(\small{1 \%}\) van \(\small750\) is \(\small{750: 100 = 7\text{,}5}\)
  • Reken dan \(\small{24 \%}\) uit: \(\small{24 \%}\) van \(\small750\) is \(\small{24 \times 7\text{,}5 = 180}\)

Procenten: hoeveel procent is het?

Soms wil je weten hoeveel procent iets is.

Voorbeeld

Het inkomen van een gezin is \(\small{\text{€ }2000\text{,-}}\) per maand.
Het gezin geeft per maand \(\small{\text{€ }700\text{,-}}\) uit aan huisvesting.
Hoeveel procent is dat?

  • \(\small{700}\) van de \(\small{2000}\) is \(\small{\frac{700}{2000}}\) deel
  • \(\small{\frac{700}{2000} = 0{,}35 = 35 \%}\)
  • Dus het gezin geeft ongeveer \(\small{35 \%}\) van haar inkomen uit aan huisvesting.

Procenten: erbij en eraf

Soms verandert de prijs van een artikel met een bepaald percentage.
Je wilt dan de nieuwe prijs kunnen uitrekenen.

 

Voorbeeld 1
Een televisietoestel van \(\small{\text{€ }320\text{,-}}\) wordt \(\small{15 \%}\) duurder.

  • \(\small{15 \%}\) van \(\small{320 = 0\text{,}15 \times 320 = 48}\)
  • de nieuwe prijs is \(\small{\text{€ }320\text{,-} + \text{€ }48\text{,-} = \text{€ }368\text{,-}}\)

 

Voorbeeld 2

In \(\small2010\) maakte een schildersbedrijf \(\small{\text{€ }110.000\text{,-}}\) winst.
In \(\small{2011}\) was de winst \(\small{8\%}\) lager.

  • \(\small{8\%}\) van \(\small{110000= 0\text{,}08 \times 110000 = 8800}\)
  • de winst in \(\small{2011}\) was \(\small{\text{€ }110.000\text{,-} - \text{€ }8.800\text{,-} = \text{€ }101.200\text{,-}}\)

Procenten: hoeveel prcent erbij/ eraf?

Soms is iets duurder of goedkoper geworden.
Je wilt weten met hoeveel procent de prijs is veranderd.

 

Voorbeeld 1

Een broek van \(\small{\text{€ }75\text{,-}}\) kost in de uitverkoop \(\small{\text{€ }52\text{,}50}\).

  • \(\small{75 - 52\text{,}5 = 22\text{,}5}\)
  • \(\small{\frac{22{,}5}{75} = 0{,}3 = 30\%}\), de broek is dus \(\small{30\%}\) goedkoper geworden.

 

Voorbeeld 2

Gregory leent \(\small{\text{€ }500\text{,-}}\) bij een bank.
Door de rente is de lening na één jaar \(\small{\text{€ }525\text{,-}}\).

  • De rente is dus\(\small{\text{€ }520 - \text{€ }500 = \text{€ }25}\)
  • De bank rekent: \(\small{\frac{25}{500} = 0\text{,}05 = 5\%}\) rente

 

Nog meer procenten

Nog meer procenten

Hoeveel procent is erbij of eraf?

Met hoeveel procent iets toegenomen of afgenomen is, kun je berekenen met een deling:
nieuwe hoeveelheid / oude houveelheid.

Voorbeeld:
Het ledenaantal van de voetbalvereniging is gestegen van \(\small{200}\) naar \(\small{230}\).
Met hoeveel procent is het ledenaantal gestegen?

  • \(\small{230 \div 200 = 1{,}15 = 115\%}\)
  • De stijging van het ledenaantal is dus \(\small{115\% - 100\% = 15\%}\)

Nog meer procenten

Hoeveel procent is erbij of eraf?

Voorbeeld:
In 2016 verbruikte de familie van Dijk \(\small{4100}\) kWh aan elektriciteit.
In 2017 was het energieverbruik \(\small{3650}\) kWh.

Met hoeveel procent is het verbruik afgenomen?

Geef het antwoord in hele procenten nauwkeurig.

  • \(\small{3650 \div 4100 \approx 0{,}89 = 89\%}\)
  • De daling van het energieverbruik in hele procenten nauwkeurig is dus \(\small{100\% - 89\% = 11\%}\)

 

Nog meer procenten

Berekeningen met BTW

BTW staat voor Belasting Toegevoegde Waarde.
Het is een belasting die je betaalt als je iets koopt.
De winkelier draagt de belasting af aan de overheid.
In Nederland is de BTW op veel artikelen \(\small{21\%}\).

Bij het omrekenen van een prijs zonder BTW naar een prijs met BTW of omgekeerd gebruik je dan de volgende rekenschema's:

\(\small\text{prijs zonder BTW} \to\)
\(\small \times\ 1{,}21\)
\(\small \to \text{prijs zonder BTW}\)
\(\small\text{prijs zonder BTW} \to\)
\(\small ÷\ 1{,}21\)
\(\small \gets \text{prijs met BTW}\)

 

Nog meer procenten

Berekeningen met BTW

Voorbeeld:
Een fiets staat in de winkel voor \(\small{\text{€ }395}\),-.
Dit is de prijs inclusief \(\small{21\%}\)  BTW.

Hoeveel is de prijs exclusief BTW?

  • De prijs inclusief BTW is \(\small{\text{€ }395}\text{,-}\).
  • Om bij de prijs exclusief BTW te komen moeten we volgens het terugrekenschema werken: we delen het bedrag door \(\small 1{,}21\).
  • De prijs exclusief BTW is dus \(\small{\text{€ }395}\),- \(\small{: 1{,}21 \approx }\)  \(\small{\text{€ }326\text{,}45}\)

Nog meer procenten - voorbeeld 1

Inge Voorthuizen heeft een winkel met cadeauartikelen.
Deze week is het uitverkoop. Hier zie je twee artikelen die in de uitverkoop zijn.

Bij de artikelen zie je de oude prijs en de nieuwe prijs.

Bereken van beide artikelen het kortingspercentage.

  • Zilveren kandelaar: \(\small{49 \div 60 \approx 0{,}82 = 82\%}\)
  • De korting is \(\small{100\% - 82\% = 18\%}\)

 

  • Fotolijstjes: \(\small{21{,}90 \div 25{,}90 \approx 0{,}85 = 85\%}\)
  • De korting is \(\small{100\% - 85\% = 15\%}\)

Nog meer procenten - voorbeeld 2

Inge Voorthuizen heeft een winkel met cadeauartikelen.
Hier zie je twee artikelen die ze verkoopt.

Bij de artikelen zie je de verkoopprijs inclusief \(\small{21}\)\(\small\%\) BTW.

Bereken van beide artikelen de verkoopprijs exclusief BTW.

Gebruik steeds het terugrekenschema.

\(\small\text{prijs zonder BTW} \gets\)
\(\small ÷\ 1{,}21\)
\(\small \gets \text{prijs zonder BTW}\)

 

  • Prijs vaas exclusief BTW is
  • \(\small{\text{€ }60 \div 1{,}21 \approx}\) \(\small{\text{€ }49,59}\)
  • Prijs sleutelhanger exclusief BTW is
    \(\small{\text{€ }4{,}90 \div 1{,}21 \approx }\) \(\small{\text{€ }4{,}05}\)

Omtrek, oppervlakte, inhoud

Omtrek en lengtematen

De omtrek van een figuur is de lengte van de buitenrand.
Je bepaalt de omtrek door de figuur 'om te trekken'.
Je telt welke afstanden je aflegt tot je weer bij het beginpunt uitkomt.

De omtrek van de figuur hiernaast is:\(\small{\text{AB} + \text{BC} + \text{CD} + \text{DA} \approx 4 + 5+ 6{,}1 +6 =21{,}1}\)

Om de omtrek van een figuur weer te geven, gebruik je vaak een lengtemaat.

Voorbeelden van lengtematen zijn:
kilometer (km), hectometer (hm), decameter (dam), meter (m),
decimeter (dm), centimeter (cm) en millimeter (mm).

\(\small\text{km}\) \(\small\text{hm}\) \(\small\text{dam}\) \(\small\text{m}\) \(\small\text{dm}\) \(\small\text{cm}\) \(\small\text{mm}\)

Lengtematen omrekenen

Soms is het handig om lengtematen om te rekenen.
Bij het omrekenen kun je de figuur hieronder gebruiken.

\(\small\text{km}\) \(\small\text{hm}\) \(\small\text{dam}\) \(\small\text{m}\) \(\small\text{dm}\) \(\small\text{cm}\) \(\small\text{mm}\)


Voorbeelden

  • \(\small{3\text{,}5}\) km \(\small{= 3500}\) m
  • \(\small{600}\) m \(\small{= 0\text{,}6}\) km
  • \(\small{12}\) hm \(\small{= 1200}\) m
  • \(\small{320 }\) dam \(\small{= 32}\) hm
  • \(\small{7}\) m \(\small{= 7000}\) mm
  • \(\small{775}\) cm \(\small{= 75\text{,}5}\) m
  • \(\small{2\text{,}4}\) dm \(\small{= 24}\) cm
  • \(\small{12}\) mm \(\small{= 0\text{,}12}\) dm

Oppervlakte en oppervlaktematen

Door het aantal hokjes te tellen, reken je de oppervlakte van een figuur uit.

  • De oppervlakte van PQRSTUVW is
    \(5+4 \times\ ^1/_2 = 7\) hokjes

  • De oppervlakte van driehoek ABC is 
    \(8 : 2 = 4\) hokjes

Om de oppervlakte van een figuur weer te geven, gebruik je vaak een oppervlaktemaat.

Oppervlaktematen omrekenen

Soms is het handig om oppervlaktematen om te rekenen.
Bij het omrekenen kun je de figuur hieronder gebruiken.

   
\(\small\text{km}^2\) \(\small\text{hm}^2\) \(\small\text{dam}^2\) \(\small\text{m}^2\) \(\small\text{dm}^2\) \(\small\text{cm}^2\) \(\small\text{mm}^2\)
   

 

Voorbeelden

  • \(\small{3\text{,}5}\) km2 \(\small{= 3500000}\) m2
  • \(\small{6000}\) m2 \(\small{= 0\text{,}006}\) km2
  • \(\small{12}\) hm2 \(\small{= 120000}\) m2
  • \(\small{32000}\) dam2 \(\small{= 320}\) hm2
  • \(\small{7}\) m2 \(\small{= 7000000}\) mm2
  • \(\small{8750}\) cm2 \(\small{= 0\text{,}875}\) m2
  • \(\small{2\text{,}4}\) dm2  \(\small{= 240}\) cm2
  • \(\small{12000}\) mm2 \(\small{= 1\text{,}2}\) dm2

Inhoud en inhoudsmaten

De inhoud van een kubus van \(\small{1}\) cm bij \(\small{1}\) cm bij \(\small{1}\) cm is \(\small{1}\) cm3.
De inhoud van ruimtelijk figuur bepaal je door uit te rekenen hoeveel blokjes van \(\small{1}\) cm3 er in passen.

 

 

 

Voor de inhoud van deze balk geldt:
\(\small{\text{inhoud}= 5 \times 4 \times 3 = 60}\) cm3

Om de inhoud van een ruimtelijk figuur aan te geven, gebruik je een inhoudsmaat.

\(\small\text{km}^3\) \(\small\text{hm}^3\) \(\small\text{dam}^3\) \(\small\text{m}^3\) \(\small\text{dm}^3\) \(\small\text{cm}^3\) \(\small\text{mm}^3\)

 

 

Inhoudsmaten omrekenen

Soms is het handig om inhoudsmaten om te rekenen.

 
\(\small\text{km}^3\) \(\small\text{hm}^3\) \(\small\text{dam}^3\) \(\small\text{m}^3\) \(\small\text{dm}^3\) \(\small\text{cm}^3\) \(\small\text{mm}^3\)

 

Voorbeelden

  • \(\small{3{,}5}\) km3  \(\small{= 3500000000}\) m3
  • \(\small{600000}\) m3 \(\small{= 0{,}0006}\) km3
  • \(\small{7}\) m3 \(\small{= 7000000000}\) mm3
  • \(\small{875000}\) cm3 \(\small{= 0{,}875}\) m3
  • \(\small{2{,}4}\) dm3 \(\small{= 2400}\) cm3
  • \(\small{1200000}\) mm3 \(\small{= 1{,}2}\) dm3

 

Onthoud

  • \(\small{1}\) liter \(\small{= 1}\) L \(\small{= 1}\) dm3
  • \(\small{1}\) centiliter \(\small{= 1}\) cL \(\small{= 0{,}01}\) L \(\small{= 0{,}01}\) dm3
  • \(\small{1}\) milliliter \(\small{= 1}\) mL \(\small{= 0{,}001}\) L \(\small{= 0{,}001}\) dm3 \(\small{= 1}\) cm\(^3\)

Andere maten

Tijd

Als eenheid van tijd gebruik je seconde (s), minuut (min) of uur.
Er geldt:

  • \(\small1\) uur \(\small{= 60}\) min
  • \(\small1\) min \(\small{= 60}\) sec
  • \(\small{1}\) uur \(\small{= 3600}\) sec

Hoeveel tijd verstreken is kun je bijvoorbeeld bijhouden op een klok.

 

Voorbeeld

Op de school van Anke begint het derde lesuur om \(\small{10\text{:}25}\) uur.
Het lesuur is afgelopen om \(\small{11\text{:}10}\).
Hoelang duurt het lesuur?

  • Van \(\small{10\text{:}25}\) tot \(\small{11\text{:}00}\) uur is \(\small35\) minuten
  • Van \(\small{11\text{:}00}\) tot \(\small{11\text{:}10}\) uur is \(\small{10}\) minuten
  • Het lesuur duurt in totaal dus \(\small{45}\) minuten.

Snelheid

Voor de snelheid gebruik je als eenheid meestal meter per seconde (m/s) of kilometer per uur (km/u).

Voor het omrekenen van de snelheid van km/u naar m/s of omgekeerd kun je het volgende rekenschema en terugrekenschema gebruiken:

\(\small{\text{snelheid}}\) in m/s \(\small{\times 3\text{,}6}\) \(\small{\text{snelheid}}\) in km/u

 

\(\small{\text{snelheid}}\) in m/s \(\small{\div 3\text{,}6}\) \(\small{\text{snelheid}}\) in km/u

 

Voorbeeld

Een in een winkelcentrum geldt een maximumsnelheid van \(\small30\) km/uur.
\(\small30\) km/uur is ongeveer \(\small{8\text{,}3}\) m/s. Ga na of dat klopt!

Massa

De massa van een voorwerp meet je met een weegschaal. 
De massa druk je meestal uit in milligram (mg), gram (g) of kilogram (kg) 
Er geldt:

  • \(1\) kg \(= 1000\) g
  • \(1\) g \(= 1000\) mg

Let op
In de dagelijkse praktijk wordt ook het gewicht van een voorwerp vaak uitgedrukt in gram of kilogram.
Maar dat is natuurkundig gezien niet juist. 
Het gewicht druk je uit in Newton.
Er geldt:

  • \(1\) kg \(\approx 9,8\) N

Meten en tekenen

Driehoeken

Driehoeken

Een driehoek is een vlak figuur met drie hoeken en drie zijden.
Je ziet driehoek \(\small{\text{ABC}}\).
In plaats van driehoek \(\small{\text{ABC}}\) schrijf je ook wel \(\small{\bigtriangleup \text{ABC}}\).
De zijden van de driehoek zijn \(\small{\text{AB}}\), \(\small{\text{BC}}\) en \(\small{\text{AC}}\).
De hoeken van de driehoek zijn \(\small{\angle \text{A}}\), \(\small{\angle \text{B}}\) en \(\small{\angle \text{C}}\).
In iedere driehoek geldt dat de drie hoeken samen \(\small{180^\circ}\) zijn.

 

Voorbeeld

Van de driehoek \(\small{\text{ABC}}\) is \(\small{\angle \text{A} = 132^\circ}\) en \(\small{\angle \text{B} = 20^\circ}\).
Hoe groot is \(\small{\angle \text{C}}\)?
\(\small{\angle \text{C} = 180^\circ -132^\circ - 20^\circ = 28^\circ}\)

Gelijkbenige driehoek

Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met:

  • twee gelijke zijden
  • twee gelijke hoeken
  • één symmetrieas

De symmetrieas gaat door de tophoek.

 

Voorbeeld

Driehoek \(\small{\text{PQR}}\) is een gelijkbenige driehoek.
De tophoek \(\small{\angle \text{R} = 52^\circ}\).
Bereken \(\small{\angle \text{P}}\) en \(\small{\angle \text{Q}}\).
\(\small{\angle \text{P}}\) en \(\small{\angle \text{Q}}\) zijn samen \(\small{180^\circ - 52^\circ = 128^\circ}\)
Driehoek \(\small{\text{PQR}}\) is een gelijkbenige driehoek, dus \(\small{\angle \text{P} = \angle \text{Q}}\).
\(\small{\angle \text{P} = \angle \text{Q} = 128^\circ : 2 = 64^\circ}\)

Gelijkzijdige driehoek en rechthoekige driehoek

Een gelijkzijdige driehoek is een bijzondere gelijkbenige driehoek. Een gelijkzijdige driehoek heeft:

  • drie gelijke zijden
  • drie gelijke hoeken
  • drie symmetrieassen

De drie hoeken van een gelijkzijdige driehoek zijn \(\small{180^\circ : 3 = 60^\circ}\)

 

Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één van de hoeken \(\small{90^\circ}\) is.

Voorbeeld

Driehoek \(\small{\text{ABC}}\) is een rechthoekige driehoek met \(\small{\angle \text{A} = 90^\circ}\) en \(\small{\angle \text{B} = 42^\circ}\).
Hoe groot is \(\small{\angle \text{C}}\)?
\(\small{\angle \text{C} = 180^\circ - 90 ^\circ - 42^\circ = 48^\circ}\)

Oppervlakte driehoek

Voor de oppervlakte van een driehoek geldt:
\(\small{\text{oppervlakte driehoek} = \frac{1}{2} \times \text{zijde} \times \text{hoogte}}\)
Let op: de \(\small{\text{hoogte}}\) staat altijd loodrecht op de \(\small{\text{zijde}}\).

Hier zie je driehoek \(\small{\text{KLM}}\) met \(\small{\text{LM} = 10}\).
In de driehoek is lijnstuk \(\small{\text{KN}}\)  loodrech op \(\small{\text{LM}}\) getekend. 
\(\small{\text{KN} = 4\text{,}6}\).
Bereken de oppervlakte van de driehoek \(\small{\text{KLM}}\).

\(\small{\text{oppervlakte} \bigtriangleup\text{KLM} =\frac{1}{2}\times \text{zijde} \times \text{hoogte}}\)
\(\small{\text{oppervlakte} \bigtriangleup\text{KLM} =\frac{1}{2} \times 10 \times 4\text{,}6}\)
\(\small{\text{oppervlakte} \bigtriangleup\text{KLM} =23}\)

Vierhoeken

Vierhoeken

Een vierhoek is een vlak figuur met vier hoeken en vier zijden.
Je ziet vierhoek \(\small{\text{ABCD}}\).
De zijden van de vierhoek zijn \(\small{\text{AB}}\), \(\small{\text{BC}}\), \(\small{\text{CD}}\) en \(\small{\text{AD}}\).
In iedere vierhoek geldt dat de vier hoeken samen \(\small{360^\circ}\) zijn.

 

Voorbeeld

Van vierhoek \(\small{\text{ABCD}}\) is gegeven dat
\(\small{\angle \text{A} = 132^\circ}\), \(\small{\angle \text{B} = 65^\circ}\) en \(\small{\angle \text{D} = 36^\circ}\).
Bereken \(\small{\angle \text{C}}\).
\(\small{\angle \text{}C = 360^\circ - 132^\circ -65^\circ - 36^\circ = 127^\circ}\)

Vierkant en rechthoek

Een rechthoek is een vierhoek:

  • met vier rechte hoeken,
  • waarvan de zijden die tegenover elkaar liggen even lang zijn,
  • waarvan de twee diagonalen even lang zijn,
  • met twee symmetrieassen,
  • die draaisymmetrisch is; draaihoek is \(\small{180^\circ}\).

Een vierkant is een bijzondere rechthoek.
Een vierkant is een vierhoek:

  • met vier rechte hoeken,
  • met vier gelijke zijden,
  • waarvan de twee diagonalen even lang zijn,
  • met vier symmetrieassen,
  • die draaisymmetrisch is; draaihoek is \(\small{90^\circ}\).

Ruit en parallellogram

Een ruit is een vierhoek:

  • met vier gelijke zijden,
  • waarvan de hoeken die tegenover elkaar liggen even groot zijn,
  • waarvan de twee diagonalen loodrecht op elkaar staan,
  • met twee symmetrieassen.
  • die draaisymmetrisch is; draaihoek is \(\small{180^\circ}\).

Een parallellogram is een vierhoek:

  • waarvan de zijden die tegenover elkaar liggen even lang zijn,
  • waarvan de zijden die tegenover elkaar liggen evenwijdig zijn,
  • waarvan de hoeken die tegenover elkaar liggen even groot zijn,
  • die draaisymmetrisch is; draaihoek is \(\small{180^\circ}\).

Vlieger

Vierhoek \(\small{\text{ABCD}}\) is een vlieger.
Vlieger \(\small{\text{ABCD}}\) is een vierhoek:

  • met \(\small{\text{AB} = \text{AD}}\) en \(\small{\text{BC} = \text{CD}}\)
  • met \(\small{\angle \text{B} = \angle \text{D}}\)
  • waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan,
  • met één symmetrieas.

Naamgeving hoeken

ls er bij een punt meerdere hoeken zijn, gebruik je meestal cijfertjes om de hoeken van elkaar te onderscheiden.

In parallellogram \(\small{\text{ABCD}}\) is diagonaal \(\small{\text{AC}}\) getekend.
De diagonaal deelt \(\small{\angle \text{A}}\) in twee stukken.
Met behulp van cijfers wordt aangegeven welke hoek je bedoelt.
Er geldt: \(\small{\angle \text{A} = \angle \text{A}_1 + \angle \text{A}_2 = \angle \text{A}_{12} }\)

Je kunt een hoek ook met drie letter aangeven.
In plaats van \(\small{\angle \text{A}_1}\) schrijf je dan \(\small{\angle \text{BAC}}\).
De middelste letter staat bij het hoekpunt.
Dus in plaats van \(\small{\angle \text{A}_2}\) schrijf je dan \(\small{\angle \text{DAC}}\) of \(\small{\angle \text{CAD}}\).

Oppervlakte parallellogram

 
 

Voor de oppervlakte van een parallellogram geldt:
\(\small{\text{oppervlakte parallellogram} = \text{zijde} \times \text{hoogte}}\)

Let op: de \(\small{\text{hoogte}}\) staat altijd loodrecht op de \(\small{\text{zijde}}\).

 

Voorbeeld

Hier zie je parallellogram \(\small{\text{KLMN}}\) met \(\small{\text{LM} = 5}\).
In \(\small{\text{KLMN}}\) is lijnstuk \(\small{\text{PQ}}\)  loodrecht op \(\small{\text{LM}}\) getekend.
\(\small{\text{PQ} = 4\text{,}6}\)

Bereken de oppervlakte van parallellogram \(\small{\text{KLMN}}\).
\(\small{\text{oppervlakte KLMN} = \text{zijde} \times \text{hoogte}}\)
\(\small{\text{oppervlakte KLMN} = \text{LM} \times \text{PQ}}\)
\(\small{\text{oppervlakte KLMN} = 5 \times 4\text{,}6}\)
\(\small{\text{oppervlakte KLMN} = 23}\)

Cirkel

Omtrek cirkel

Voor de \(\small{\text{omtrek}}\) van een cirkel geldt:
\(\small{\text{omtrek cirkel}= \pi\ \times \text{diameter}}\) of
\(\small{\text{omtrek cirkel} = 2 \times \pi\ \times \text{straal}}\)
\(\small{\pi}\) is een Griekse letter. Spreek uit: pie
\(\small{\pi}\) is ongeveer \(\small{3\text{,}14}\)

 

Voorbeeld

Van een cirkel met middelpunt \(\small{\text{M}}\) is de straal \( \small{3}\) cm.
Bereken de \(\small{\text{omtrek}}\) van cirkel.

\(\small{\text{omtrek cirkel} = 2 \times \pi \times \text{straal}}\)
\(\small{\text{omtrek cirkel} = 2 \times \pi \times 3}\)cm
\(\small{\text{omtrek cirkel} \approx 2 \times 3 \text{,}14 \times 3}\)cm
\(\small{\text{omtrek cirkel} \approx 18\text{,}84}\)cm

Oppervlakte cirkel

Voor de \(\small{\text{oppervlakte}}\) van een cirkel geldt:
\(\small{\text{oppervlakte cirkel} = \pi \times \text{straal} \times \text{straal}}\) of
\(\small{\text{oppervlakte cirkel} = \frac{1}{4} \times \pi \times \text{diameter} \times \text{diameter}}\)

is een Griekse letter. Spreek uit: pie
\(\pi\) is ongeveer \(\small{3{,}14}\) . (\(\pi\ \small{\approx 3{,}14}\))

Voorbeeld

Van een cirkel met middelpunt \(\small{\text{M}}\) is de straal \(\small{3}\) cm.
Bereken de oppervlakte van de cirkel.
\(\small{\text{oppervlakte cirkel} = \pi \times \text{straal} \times \text{straal}}\)
\(\small{\text{oppervlakte cirkel} = \pi \times 3 \times 3}\)
\(\small{\text{oppervlakte cirkel} \approx 3\text{,}14 \times 9}\)
\(\small{\text{oppervlakte cirkel} \approx 28\text{,}26}\) cm2

Afstanden en cirkels

Voorbeeld

Je ziet een kaart met daarop de punten \(\small{\text{M}}\), \(\small{\text{A}}\), \(\small{\text{B}}\) en \(\small{\text{C}}\).

Op de kaart is een cirkel getekend met middelpunt \(\small{\text{M}}\) en met een straal van \(2\) km.

  • Punt \(\small{\text{A}}\) ligt op de cirkel.
    De afstand tussen de punten \(\small{\text{M}}\) en \(\small{\text{A}}\) is \(\small{2}\) km.
  • Punt \(\small{\text{B}}\) ligt binnen de cirkel.
    De afstand tussen de punten \(\small{\text{M}}\) en \(\small{\text{B}}\) is kleiner dan \(\small{2}\) km.
  • Punt \(\small{\text{C}}\) ligt buiten de cirkel.
    De afstand tussen de punten \(\small{\text{M}}\) en \(\small{\text{C}}\) is groter dan \(\small{2}\) km.

Gebieden en cirkels

Voorbeeld
Om snel medische hulp te kunnen bieden staan in een aantal plaatsen in Nederland speciale helikopters klaar.
Op het kaartje is voor drie van die plaatsen met cirkels aangegeven in welk gebied de helikopters ingezet kunnen worden.

Er geldt dat:

  • de gele gebieden door één van de helikopters bereikt kunnen worden.
  • het blauwe gebied door twee helikopters bereikt kan worden.
  • de delen die buiten de cirkels vallen kunnen niet door één van deze drie helikopters bereikt kunnen worden.

Ruimtemeetkunde

Kubus en balk

Kubus \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{EFGH}}\) is een ruimtelijk figuur met:
- \(\small{6}\) gelijke vierkanten als grensvlakken
- \(\small{12}\) even lange ribben en
- \(\small{8}\) hoekpunten

\(\small{\text{ACGE}}\) is voorbeeld van een diagonaalvlak van de kubus.
Een diagonaalvlak heeft de vorm van een rechthoek.
Lijnstuk \(\small{\text{AG}}\) is een lichaamsdiagonaal.

In balk \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{EFGH}}\) geldt:
- de ribben \(\small{\text{AB}}\), \(\small{\text{CD}}\), \(\small{\text{EF}}\) en \(\small{\text{GH}}\) zijn even lang,
- de ribben \(\small{\text{BC}}\), \(\small{\text{FG}}\), \(\small{\text{AD}}\) en \(\small{\text{EH}}\) zijn even lang,
- de ribben \(\small{\text{AE}}\), \(\small{\text{BF}}\), \(\small{\text{CG}}\) en \(\small{\text{DH}}\) zijn even lang.

\(\small{\text{ABGH}}\) is voorbeeld van een diagonaalvlak van de balk.
Een diagonaalvlak heeft de vorm van een rechthoek.
Lijnstuk \(\small{\text{BH}}\) is een lichaamsdiagonaal.

Piramide en prisma

Piramide

Je hebt verschillende piramiden. Het aantal ribben en hoekpunten hangt af van de vorm van het grondvlak.
Een piramide met een vierkant als grondvlak heeft:
- \(\small{8}\) ribben en
- \(\small{5}\) hoekpunten.

Bij de piramide \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{T}}\) hiernaast ligt de top precies boven het snijpunt van de diagonalen van het grondvlak.

 

Prisma

Je hebt ook veel verschillende prisma's. Ook nu hangt het aantal ribben en hoekpunten af van de vorm van het grondvlak.

Een prisma met een vijfhoek als grondvlak (en bovenvlak) heeft:
- \(\small{15}\) ribben en
- \(\small{10}\) hoekpunten.

Cilinder, kegel en bol

Een cilinder heeft:
- twee platte grensvlakken
- één gebogen grensvlak
- geen hoekpunten en
- geen ribben.

 

Een kegel heeft:
- één plat grensvlak
- één gebogen grensvlak
- geen hoekpunten en
- geen ribben.

 

Een bol heeft:
- één gebogen grensvlak
- geen hoekpunten en
- geen ribben.

Uitslagen

In een uitslag van een ruimtelijk figuur staan alle grensvlakken van dat ruimtelijk figuur.
Als je de uitslag uitknipt, kun je het ruimtelijk figuur in elkaar zetten. Je ziet hieronder een aantal uitslagen van ruimtelijke figuren.

\(\small\text{Balk}\) \(\small\text{Cilinder}\) \(\small\text{Piramide}\) \(\small\text{Kegel}\)



 

Aanzichten

\(\small\text{boven}\)

\(\small\text{voor}\) \(\small\text{zij}\)

Om een goed beeld van een ruimtelijk figuur te krijgen, kijk je van verschillende kanten naar het figuur.
Een tekening van wat je ziet, noem je een aanzicht.

Vaak teken je drie aanzichten:

  • vooraanzicht
  • zijaanzicht
  • bovenaanzicht

Van het kubushuisje is een drieaanzicht getekend.

Grafieken en formules

Tabel, grafiek, formule

Verband in een tabel

Een verband tussen twee variabelen kun je weergeven in een tabel.

Voorbeeld

Een auto rijdt met een snelheid van \(\small{50}\) km/uur.
Er is een verband tussen de \(\small{\text{tijd}}\) die de auto rijdt en de \(\small{\text{afstand}}\) die de auto aflegt.

Dat verband kun je weergeven in een tabel.

\(\small{\text{tijd}}\) (uur) \(\small{0}\) \(\small{0{,}5}\) \(\small{1}\) \(\small{1\text{,}5}\) \(\small{2}\)
\(\small{\text{afstand}}\) (km) \(\small{0}\) \(\small{25}\) \(\small{50}\) \(\small{75}\) \(\small{100}\)


Uit de tabel kun aflezen dat de auto na \(\small{1\text{,}5}\) uur \(\small{75}\) km heeft afgelegd.

Verband in een grafiek

Een verband tussen twee variabelen kun je weergeven in een grafiek.

Voorbeeld
Een kaars wordt aangestoken.
In de grafiek is het verband tussen de \(\small{\text{brandtijd}}\) en de \(\small{\text{lengte}}\) van de kaars weergegeven.

Uit de grafiek kun je aflezen dat de kaars toen hij aangestoken werd \(\small{16}\) cm lang was.
Na \(\small{3}\) uur branden was de kaars nog \(\small{6}\) cm lang.
Na \(\small{8}\) uur branden is de kaars opgebrand.

Verband in een formule

Een verband tussen twee variabelen kun je soms weergeven in een formule.

 

Voorbeeld
Een taxibedrijf rekent voor een taxirit een vast bedrag van \(\small{\text{€ }3\text{,-}}\)plus \(\small{\text{€ }2\text{,-}}\)per gereden kilometer.

Het verband tussen de \(\small{\text{ritafstand}}\) (in km) en de \(\small{\text{ritprijs}}\) (in euro) kun je berekenen met de formule:
\(\small{\text{ritprijs} = 3 + 2 \times \text{ritafstand}}\)

Met de formule kun je uitrekenen dat je voor een rit van \(\small{2}\) km \(\small{\text{€ }7\text{,-}}\)betaalt.
En voor een rit van \(\small{7\text{,}5}\) km betaal je \(\small{\text{€ }18\text{,-}}\).

Lettervariabelen

Bekijk de formule:
\(\small{\text{ritprijs} = 3 + 2 \times \text{afstand}}\)

In plaats van de woordvariabelen \(\small{\text{ritprijs}}\) (in euro) en \(\small{\text{afstand}}\) (in km) kun je ook lettervariabelen gebruiken.

Neem bijvoorbeeld \(\small{\text{R}}\) voor \(\small{\text{ritprijs}}\) en \(\small{\text{A}}\) voor \(\small{\text{afstand}}\).

De formule wordt dan: \(\small{\text{R}= 3 + 2 \times \text{A}}\)

In plaats van het \(\small{\times}\)-teken wordt vaak een \(\small{\cdot}\) gebruikt.
Soms wordt het \(\small{\times}\)-teken of de \(\small{\cdot }\) zelfs helemaal weggelaten.
De formule wordt dan: \(\small{\text{R} = 3 + 2 \cdot \text{A}}\)   of   \(\small{\text{R}= 3 + 2\text{A}}\)

Voor lettervariabelen kun je een getal invullen.
Als je voor \(\small{\text{A}}\) het getal \(\small{10}\) invult, krijg je: \(\small{\text{R} = 3 + 2 \times 10=23}\).
Een rit van \(\small{10}\) km kost dus \(\small{23}\) euro.

Lineair verband

Lineair verband in een grafiek

Is de grafiek die je bij een verband kunt tekenen een rechte lijn, dan noem je het verband een lineair verband.

Voorbeeld
Een auto rijdt met een constante snelheid van \(\small{50}\) km/uur.

In de grafiek zie je het verband tussen de \(\small{\text{tijd}}\) die de auto rijdt en de \(\small{\text{afstand}}\) die de auto aflegt weergegeven.

De grafiek is een rechte lijn, dus het verband tussen de \(\small{\text{tijd}}\) en de \(\small{\text{afstand}}\) is een lineair verband.

Lineair verband in een tabel

In een tabel van een lineair verband kun je een regelmaat ontdekken.
Bij een gelijke toename van de ene variabele hoort steeds dezelfde toename van de andere variabele.

Voorbeeld
Een kaars wordt aangestoken.
In de tabel is het verband tussen de \(\small{\text{brandtijd}}\) van de kaars en de \(\small{\text{lengte}}\) van de kaars weergegeven.

\(\small{\text{brandtijd}}\) (uur) \(\small{0}\) \(\small{2}\) \(\small{4}\) \(\small{6}\) \(\small{8}\)
\(\small{\text{lengte}}\) (cm) \(\small{15}\) \(\small{12}\) \(\small{9}\) \(\small{6}\) \(\small{3}\)


In de tabel zie je een regelmaat.
Steeds als de \(\small{\text{brandtijd}}\) met \(\small{2}\) uur toeneemt, neemt de \(\small{\text{lengte}}\) van de kaars met \(\small{3}\) cm af.
Het verband tussen de \(\small{\text{brandtijd}}\) en de \(\small{\text{lengte}}\) is een lineair verband.

Lineair verband in een formule

Bij een lineair verband kun je een formule maken.
Het verband heeft een formule van de vorm:
\(\small{\text{uitkomst}=\ ..\ +\ ..\ \times \text{getal}}\)

of
\(\small{\text{uitkomst} = \ ..\ \times \text{getal} + \ ..\ }\)

 

Voorbeeld
Een taxibedrijf rekent voor een taxirit een vast bedrag van \(\small{\text{€ }3\text{,-}}\) plus een \(\small{\text{€ }2\text{,-}}\) per kilometer.
Het verband tussen de \(\small{\text{ritafstand}}\) (in km) en de \(\small{\text{ritprijs}}\) (in euro) kun je berekenen met de formule:
\(\small{\text{ritprijs} = 3 + 2 \times \text{ritafstand}}\)

of
\(\small{\text{ritprijs} = 2 \times \text{ritafstand} + 3}\)

Aan de vorm van de formule zie je dat het verband tussen de \(\small{\text{ritprijs}}\) en de \(\small{\text{ritafstand}}\) een lineair verband is.

Een formule maken bij een lineair verband

In de grafiek is het verband tussen een \(\small{\text{getal}}\) en de \(\small{\text{uitkomst}}\) weergegeven. De grafiek is een rechte lijn. Het verband is dus een lineair verband.
De formule bij dit verband is:

\(\small{\text{uitkomst =}}\) \(\small 2\) \(\small+\) \(\small 3\) \(\small \times \text{ getal}\)
     


Het getal \(\small{2}\) geeft aan waar de grafiek de verticale as snijdt. De grafiek gaat door \(\small{(0,2)}\).

Iedere keer als je \(\small{1}\) naar rechts gaat, ga je \(\small{3}\) omhoog. Het getal \(\small{3}\) noem je het hellingsgetal.

Het hellingsgetal geeft aan hoe steil de grafiek loopt.

Vergelijking en oplossing

Vergelijking en oplossing

Soms weet je de uitkomst van een formule. Je vult de uitkomst in.
Je krijgt dan een vergelijking. Het getal waarvoor de vergelijking klopt, noem je de oplossing.

Een auto rijdt met \(\small{1}\) liter benzine \(\small{12}\) km.
De formule is:  \(\small{\text{afstand}=12\times\text{hoeveelheid benzine}}\)
Hoeveel benzine heb je nodig om \(\small{60}\) km te rijden?

  • Je weet:  \(\small{\text{afstand}=60}\)
    Vul dat in de formule in.

  • Je krijgt de vergelijking: \(\small{60=12\times \text{hoeveelheid benzine}}\)
    Of anders geschreven: ­ ­ ­ ­\(\small{12\times\text{hoeveelheid benzine} = 60}\)

  • \(\small{60=12\times5}\) of \(\small{12\times5=60}\)
    Je kunt met \(\small{5}\) liter benzine \(\small{60}\) km rijden.
    \(\small{\text{hoeveelheid benzine}=5}\) is de oplossing van de vergelijking.

Vergelijking en oplossing - Voorbeeld 1

Bekijk de formule:  \(\small{\text{lengte}=20-5\times\text{brandtijd}}\)
Bij de formule is een grafiek gemaakt.


Na hoeveel uur branden is de kaars \(\small{12{,}5}\) cm?

Vul in de formule  \(\small{\text{lengte}=12{,}5}\) in.
Je krijgt de vergelijking:
  \(\small{12{,}5=20-5\times\text{brandtijd}}\)

In de grafiek zie je dat bij een \(\small{\text{lengte}}\) van \(\small{12{,}5}\) cm een \(\small{\text{brandtijd}}\) van \(\small{1{,}5}\) uur hoort.
De oplossing is dus:  \(\small{\text{brandtijd}=1{,}5}\)

Controleer de oplossing door het in te vullen in de vergelijking.
\(\small{12{,}5=20-5\times1{,}5}\)
\(\small{12{,}5=20-7{,}5}\)
\(\small{12{,}5=12{,}5}\) Klopt.

Vergelijking en oplossing - Voorbeeld 2

Bekijk de formule: \(\small{\text{spaargeld}=5\times\text{aantal weken}+100}\)
Bij de formule is een tabel gemaakt.

\(\small{\text{aantal weken}}\) \(\small0\) \(\small10\) \(\small20\) \(\small30\) \(\small40\)
\(\small{\text{spaargeld}}\) (€) \(\small100\) \(\small150\) \(\small200\) \(\small250\) \(\small300\)

 

Na hoeveel weken heb je \(\small{\text{€ }225{,}-}\) gespaard?

Vul in de formule \(\small{\text{spaargeld}=225}\) in.
Je krijgt de vergelijking: \(\small{225=5\times \text{aantal weken}+100}\)

In de tabel zie je dat de oplossing tussen \(\small{20}\) en \(\small{30}\) zit.
De oplossing is \(\small{\text{aantal weken}=25}\)

Controleer de oplossing door het in te vullen in de vergelijking.
\(\small{225=5\times25+100}\)
\(\small{225=125+100}\)
\(\small{225=225}\) Klopt.

Oplossen met grafieken

Vergelijking en oplossing

Bekijk de formule:

\(\small{\text{uitkomst} = 2+3 \times \text{getal}}\)

Je wilt weten bij welk \(\small{\text{getal}}\) de \(\small{\text{uitkomst}}\) \(\small{11}\) is.
Je vult de \(\small{\text{uitkomst}}\) in.
Je krijgt dan de vergelijking:

\(\small{11=2+3 \times \text{getal}}\)     of     \(\small{2+3 \times \text{getal} = 11}\)

De oplossing van de vergelijking is: \(\small{\text{getal}=3}\)

Je kunt de oplossing controleren door hem in te vullen in de vergelijking.

\(\small{2+3 \times 3 =11}\)    Klopt!

 

Bekijk de twee formules:

\(\small{\text{I} \ \ \text{uitkomst}=2+3\ \times \text{getal}}\)
\(\small{\text{II} \ \ \text{uitkomst}=12 -2 \times \text{getal}}\)

Voor welk \(\small{\text{getal}}\) is de \(\small{\text{uitkomst}}\) van formule I gelijk aan de \(\small{\text{uitkomst}}\) van formule II?
Je moet op zoek naar de oplossing van de vergelijking:

\(\small{2 + 3 \times \text{getal}= 12 - 2 \times \text{getal}}\)

De oplossing van de vergelijking is: \(\small{\text{getal}=2}\)

Controleer de oplossing:

\(\small{2 + 3 \times 2 = 8}\)     en     \(\small{12 - 2 \times 2 = 8}\)    Klopt!

Oplossing zoeken met een grafiek

Bij de volgende formule is een grafiek getekend:
\(\small{\text{uitkomst} = 2 + 3 \cdot \text{getal}}\)

Je wilt weten bij welk \(\small{\text{getal}}\) de \(\small{\text{uitkomst}}\) \(\small{11}\) is.
Je vult de uitkomst in.
Je krijgt dan de vergelijking:
\(\small{2+3 \cdot \text{getal} = 11}\)

Met behulp van de grafiek zie je dat de oplossing van de vergelijking is: \(\small{\text{getal}=3}\)

Je kunt de oplossing controleren door hem in te vullen in de vergelijking.
\(\small{2+3 \times 3 = 11}\)   Klopt!

Oplossingen zoeken met grafieken

Bij de grafieken hiernaast horen de formules:\(\small{\text{I} \ \ \text{uitkomst} = 2 + 3 \cdot \text{getal}}\)
\(\small{\text{II} \ \ \text{uitkomst} = 12 - 2 \cdot \text{getal}}\)

Voor welk \(\small{\text{getal}}\) is de \(\small{\text{uitkomst}}\) van formule I gelijk aan de \(\small{\text{uitkomst}}\) van formule II?
Je moet op zoek naar de oplossing van de vergelijking:
\(\small{2 + 3 \cdot \text{getal} = 12 - 2 \cdot \text{getal}}\)

De oplossing vind je met behulp van de grafieken.
Oplossing is: \(\small{\text{getal}=2}\)

Controleer de oplossing:
\(\small{2+3 \times 2 = 8}\)   en   \(\small{12 - 2 \times 2 = 8}\)   Klopt!

Vergelijkingen oplossen

Rekenschema

Van formule naar rekenschema
Bij veel formules kun je een rekenschema maken.
In zo'n schema staat in welke bewerkingen je in welke volgorde uit moet voeren.

Voorbeeld
Bekijk de formule: \(\small{\text{uitkomst}= 2 + 3 \times \text{getal}}\)
Bij de formule hoort het volgende rekenschema:
\(\small{\text{getal} \rightarrow \times\ 3 \rightarrow +\ 2 \rightarrow \text{uitkomst}}\)


Van rekenschema naar formule
Bij een rekenschema kun je een formule maken.

Voorbeeld
Bekijk het rekenschema: \(\small{\text{getal} \rightarrow + 3 \rightarrow \times 2 \rightarrow \text{uitkomst}}\)
De formule bij dit rekenschema is:
\(\small{\text{uitkomst} = (\text{getal} + 3 ) \times 2}\)   Let op de haakjes!

Terugrekenschema

Bij een rekenschema kun je ook een terugrekenschema maken.

Voorbeeld 1
Bekijk de formule: \(\small{\text{uitkomst}= 2 + 3 \times \text{getal}}\)
Bij de formule hoort het volgende rekenschema: \(\small{\text{getal} \rightarrow \times\ 3 \rightarrow +\ 2 \rightarrow \text{uitkomst}}\)

Terugrekenen kun je met het terugrekenschema: \(\small{\text{getal} \leftarrow : 3 \leftarrow \text{-}2 \leftarrow \text{uitkomst}}\)

Let op: het terugrekenschema lees je van rechts naar links.
 

Voorbeeld 2
Bekijk de formule \(\small{\text{uitkomst} = (\text{getal} + 3 ) \times 2}\)
Rekenschema: \(\small{\text{getal} \rightarrow + 3 \rightarrow \times 2 \rightarrow \text{uitkomst}}\)

Terugrekenschema: \(\small{\text{getal} \leftarrow - 3 \leftarrow \text{:}2 \leftarrow \text{uitkomst}}\)

 

Vergelijkingen oplossen met rekenschema´s

Rekenschema's en terugrekenschema's kunnen je helpen bij het oplossen van vergelijkingen.

Voorbeeld
Bekijk de vergelijking: \(\small{3 \times \text{getal} + 2 = 14}\)
Maak eerst het rekenschema:
\(\small{\text{getal} \rightarrow \times 3 \rightarrow +2 \rightarrow 14}\)

Maak nu het terugrekenschema:
\(\small{\text{getal} \leftarrow :3 \leftarrow \text{-}2 \leftarrow 14}\)

Los de vergelijking op met het terugrekenschema.
Je vindt: \(\small{\text{getal} = (14 - 2) :3 = 12:3 = 4}\)

Controle: \(\small{3 \times 4 + 2 = 14 }\)   Klopt!

Oplossen met een balans

Soms kun een vergelijking oplossen door aan een balans te denken.
Bekijk de vergelijking: \(\small{4 \times \text{G} + 3 = 2 \times \text{G} +9}\)

Bij de vergelijking kun je aan de balans hiernaast denken. Op de balans liggen links \(\small{4}\) rode blokjes van \(\small{\text{G}}\) gram en \(\small{3}\) blokjes van \(\small{1}\) gram en rechts \(\small{2}\) rode blokjes van \(\small{\text{G}}\) gram en \(\small{9}\) blokjes van \(\small{1}\) gram.

- Haal eerst links en rechts twee rode blokjes van \(\small{\text{G}}\) gram weg. Je krijgt de vergelijking: \(\small{2 : \text{G}+ 3=9}\)
- Haal nu links en rechts drie blokjes van \(\small{1}\) gram weg.
Je krijgt de vergelijking: \(\small{2 \times \text{G}=6}\). Twee blokjes wegen samen \(\small{6}\) gram, dus één blokje weegt \(\small{3}\) gram.
Je krijgt als oplossing: \(\small{\text{G}=3}\)

Controle: \(\small{4 \times 3 + 3=15}\)   en   \(\small{2 \times 3+9=15}\)   Klopt!

Vergelijkingen oplossen met de balansmethode

In een vergelijking kunnen ook negatieve getallen voorkomen.
Dan is het lastig om aan een balans te denken.
Je kunt de vergelijking dan wel oplossen met de balansmethode.

Bekijk de vergelijking:

\(\small{ 4 \cdot \text{g} - 3= 2 \cdot \text{g} +9}\)
beide zijden:  \(\small{\text{-} 2 \cdot \text{g}}\)
beide zijden: \(\small{ + 3}\)
beide zijden: \(\small{ : 2}\)
\(\small{ 2 \cdot \text{g} - 3 = 9}\)
\(\small{ 2 \cdot \text{g} = 12}\)
\(\small{\text{g} = 6}\)


Controle:
\(\small{4 \times 6 -3 =21}\)   en   \(\small{2 \times 6 +9 =21}\)   Klopt!

Nog meer verbanden - 1

Twee keer dezelfde variabele

In een formule kan een variabele twee keer voorkomen.
 

Voorbeeld
Een vierkant heeft zijden van \(\small{\text{a}}\) cm.
De oppervlakte van het vierkant is \(\small{\text{a} \cdot \text{a}}\)
Met de formule \(\small{\text{opp} = \text{a} \cdot \text{a}}\) kun je de volgende tabel invullen:

\(\small{\text{a}}\) (cm) \(\small{0}\) \(\small{1}\) \(\small{2}\) \(\small{3}\) \(\small{4}\)
\(\small{\text{opp}}\) (cm\(\small{^2}\)) \(\small{0}\) \(\small{1}\) \(\small{4}\) \(\small{9}\) \(\small{16}\)


De grafiek van dit verband is geen rechte lijn.
De grafiek is een vloeiende gebogen lijn.

 

Hyperbolisch verband

Hyperbolisch verband

Als het product van twee variabelen steeds gelijk is,
is het verband tussen de variabelen een hyperbolisch verband.

Voorbeeld
Een rechthoek heeft een oppervlakte van \(\small{24}\).
Voor de rechtoek geldt de formule: \(\small{\text{lengte} \times \text{breedte} = 24}\)

Bij de formule kun je een tabel maken en een grafiek tekenen.

\(\small{\text{lengte}}\) \(\small{1}\) \(\small{2}\) \(\small{4}\) \(\small{6}\) \(\small{12}\)
\(\small{\text{breedte}}\) \(\small{24}\) \(\small{12}\) \(\small{6}\) \(\small{4}\) \(\small{2}\)

 

De grafiek noem je een hyperbool.
De grafiek komt steeds dichter bij de assen, maar zal de assen nooit snijden.

Nog meer verbanden - 2

Periodiek verband

Soms herhaalt een beweging zich na een bepaalde tijd.
Je hebt dan te maken met een periodiek verband.

Je ziet hier een grafiek van een periodiek verband tussen de \(\small{\text{hoogte}}\) (\(\small{\text{h}}\) in m) en de \(\small{\text{tijd}}\) (\(\small{\text{t}}\) in min).

  • In de grafiek is de periode aangegeven. De periode geeft aan om de hoeveel tijd de beweging zich herhaalt.
    De periode is \(\small{4}\) min.
  • De evenwichtsstand ligt bij een \(\small{\text{hoogte}}\) \(\small{\text{h} =3}\) m.
  • De uitwijking (of amplitude) is het maximale verschil tussen de hoogte en de evenwichtsstand.
    Je ziet dat de uitwijking \(\small{2}\) m is.

Voorbeeld
Je ziet een schematisch reuzenrad. Het rad draait heel langzaam rond. Tijdens het instappen draait het rad gewoon door.
Tom draait rond in het reuzenrad.
In de tabel zie je steeds op welke hoogte (\(\small{\text{h}}\) in m) hij zich bevindt.

\(\small{\text{tijd}}\) (sec) \(\small{0}\) \(\small{20}\) \(\small{40}\) \(\small{60}\) \(\small{80}\) \(\small{100}\) \(\small{120}\) \(\small{140}\) \(\small{160}\) \(\small{180}\) \(\small{200}\) \(\small{220}\)
\(\small{\text{hoogte}}\) (m) \(\small{5}\) \(\small{8}\) \(\small{13}\) \(\small{18}\) \(\small{21}\) \(\small{18}\) \(\small{13}\) \(\small{8}\) \(\small{5}\) \(\small{8}\) \(\small{13}\) \(\small{18}\)


Uit de tabel kun je afleiden dat:

  • het instapplatform zich \(\small{5}\) m boven de grond bevindt.
  • het rad een diameter heeft van \(\small{16}\) m
  • de periode \(\small{160}\) sec is.

Informatieverwerking

Diagrammen

Gegevens in beeld

Gegevens kun je op verschillende manieren in beeld brengen.
Voorbeelden zijn een tabel, een beelddiagram en een staafdiagram.

 

Voorbeeld

Een klas van \(\small{30}\) leerlingen heeft een toets wiskunde gemaakt.
Met de resultaten is een tabel, een beelddiagram en een staafdiagram gemaakt.

\(\small{\text{Tabel}}\) \(\small{\text{Beelddiagram}}\) \(\small{\text{Staafdiagram}}\)
\(\small{\textbf{cijfer}}\) \(\small{\textbf{aantal keer}}\)
\(\small4\) \(\small4\)
\(\small5\) \(\small3\)
\(\small6\) \(\small5\)
\(\small7\) \(\small7\)
\(\small8\) \(\small8\)
\(\small9\) \(\small3\)

 

 

 

Cirkeldiagrammen

Ook een cirkeldiagram wordt regelmatig gebruikt om gegevens weer te geven. Een cirkeldiagram bestaat uit verschillende sectoren.

 

Voorbeeld
Aan \(\small{250}\) mensen is gevraagd wat hun favoriete sport is.
Met de antwoorden is een cirkeldiagram gemaakt.

- Je ziet dat \(\small{60\%}\) van de ondervraagden voetbal hebben genoemd.
\(\small{60\%}\) van \(\small{250}\) is \(\small{150}\) mensen.

- Een hele cirkel is \(\small{360}\)°.
\(\small{10\%}\) van de ondervraagden noemden volleybal.
De hoek van de punt van de sector volleybal is dus \(\small{36}\)°.

Steel - bladdiagram

Zijn je gegevens getallen, dan kun je de gegevens soms ook weergeven in een
steel-bladdiagram. In een steel-bladdiagram is ieder getal gesplitst:
- in de steel staat het eerste deel van het getal,
- in het blad staat het laatste deel van het getal.

 

Voorbeeld

Hieronder zie je de cijfers voor een proefwerk wiskunde.
De cijfers zijn afgerond op één cijfer achter de komma.

\(\small{2{,}6}\) \(\small{3{,}7}\) \(\small{4{,}8}\) \(\small{4{,}9}\) \(\small{5{,}6}\) \(\small{5{,}7}\) \(\small{5{,}9}\) \(\small{5{,}9}\)
\(\small{6{,}0}\) \(\small{6{,}0}\) \(\small{6{,}0}\) \(\small{6{,}6}\) \(\small{6{,}6}\) \(\small{6{,}6}\) \(\small{6{,}7}\) \(\small{6{,}7}\)
\(\small{6{,}8}\) \(\small{7{,}0}\) \(\small{7{,}4}\) \(\small{7{,}7}\) \(\small{7{,}7}\) \(\small{7{,}7}\) \(\small{7{,}9}\) \(\small{8{,}2}\)
\(\small{8{,}4}\) \(\small{8{,}6}\) \(\small{8{,}8}\) \(\small{9{,}0}\) \(\small{9{,}2}\) \(\small{9{,}3}\)    


Met de cijfers is een steel-bladdiagram gemaakt.
In de steel staan de gehele getallen, in de bladeren staan
de getallen achter de komma van klein naar groot.

Grafen, 'afstand'tabellen en andere infofiguren

Grafen en gerichte graaf

Een graaf is een schematische weergave van de werkelijkheid.
Een graaf bestaat uit knooppunten en wegen.
De wegen in een graaf kunnen echte wegen zijn, maar dat hoeft niet.

 

Voorbeeld

In de graaf hiernaast geeft een weg tussen twee personen aan dat ze aan dezelfde sport doen.

- Eva zit op voetbal en tennis.
- Jef zit op voetbal en volleybal.
- Jorge zit op volleybal.
- Kate zit op tennis en volleybal.

 

 

 

 

Een graaf met 'éénrichtingsverkeer' noem je een gerichte graaf. In een gerichte graaf zie je een of meer pijltjes in de wegen.

Voorbeeld
Bekijk de gerichte graaf. Je ziet dat je wel rechtstreeks van \(\small{\text{A}}\) naar \(\small{\text{C}}\) kunt, maar niet rechtstreeks van \(\small{\text{C}}\) naar \(\small{\text{A}}\), je moet dan via \(\small{\text{B}}\).

'Afstand'tabellen

In een afstandtabel staan de 'afstanden' tussen de knooppunten.
Dat kunnen kilometers zijn, maar bijvoorbeeld ook reistijden.

Voorbeeld

In de graaf zie de reistijden per trein in minuten tussen een aantal steden.



Omdat er werkzaamheden aan het spoor zijn, kun je niet rechtstreeks van Zutphen naar Arnhem. De graaf is een gerichte graaf.

 
  \(\small\text{Amsterdam}\) \(\small\text{Amersfoort}\) \(\small\text{Arnhem}\) \(\small\text{Utrecht}\) \(\small\text{Zutpen}\)
\(\small\text{Amsterdam}\) - \(\small34\) \(\small69\) \(\small32\) \(\small82\)
\(\small\text{Amersfoort}\) \(\small34\) - \(\small51\) \(\small14\) \(\small48\)
\(\small\text{Arnhem}\) \(\small69\) \(\small51\) - \(\small37\) \(\small21\)
\(\small\text{Utrecht}\) \(\small32\) \(\small14\) \(\small37\) - \(\small58\)
\(\small\text{Zutphen}\) \(\small82\) \(\small48\) \(\small99\) \(\small62\) -


De reistijden tussen de steden zijn ook weergegeven in een 'afstand'tabel.
Ook in de tabel kun je zien dat je te maken hebt met een gerichte graaf.

Informatieve figuren

Voorbeeld

In deze 'graaf' zie je gegevens over de groei van de bevolking van Utrecht in 2016.

Uit de figuur kun je aflezen dat de bevolking door geboortes met \(\small{4.303}\) inwoners is gegroeid.

Door sterfte is het aantal inwoners met \(\small{2.083}\) afgenomen.

Uit de figuur kun je afleiden dat het aantal inwoners van Utrecht in 2016 is toegenomen.
 

Gemiddelde en gewogen gemiddelde

Gemiddelde

Het gemiddelde van een aantal getallen vind je door die getallen bij elkaar op te tellen en de uitkomst te delen door het aantal getallen. Daarna rond je af op het gewenste aantal decimalen.

\(\small{\text{gemiddelde}= \frac{\text{som van de getallen}}{\text{aantal getallen}}}\)

 

Voorbeeld

Je hebt voor Frans gehaald: \(\small{6\text{,}2 \ \ 7\text{,}4 \ \ 4\text{,}8 \ \ 7\text{,}4 \ \ 8\text{,}1 \ \ 7\text{,}2}\) en \(\small{8\text{,}0}\)

Bereken in één decimaal nauwkeurig hoeveel je gemiddeld staat voor Frans.

\(\small{\text{gemiddelde}= \frac{6,2\ +\ 7,4\ +\ 4,8\ +\ 7,4\ +\ 8,1\ +\ 7,2\ +\ 8,0}{7} = \frac{49,1}{7} \approx 7,0}\)

Gewogen gemiddelde

Bij het berekenen van het gewogen gemiddelde telt een getal even vaak mee als zijn 'gewicht' aangeeft.

Voorbeeld
Voor geschiedenis heb je twee overhoringen (\(\small{7}\) en \(\small{8}\)) en één repetitie (\(\small{5\text{,}5}\)) gemaakt.
De repetitie geldt \(\small{3}\) keer zo zwaar als de overhoringen.

Bereken het gewogen gemiddelde in één decimaal nauwkeurig.

\(\small{\text{gemiddelde}= \frac{1\ \times\ 7\ +\ 1\ \times\ 8\ +\ 3\ \times\ 5\text{,}5}{5} = \frac{31\text{,}5}{5} = 6\text{,}3}\)
 

Centrummaten en klassen

Gemiddelde

Het gemiddelde van een aantal getallen vind je door die getallen bij elkaar op te tellen en de uitkomst te delen door het aantal getallen. Daarna rond je af op het gewenste aantal decimalen.

\(\small{\text{gemiddelde}= \frac{\text{som van de getallen}}{\text{aantal getallen}}}\)

 

Voorbeeld

Je hebt voor Frans gehaald: \(\small{6\text{,}2 \ \ 7\text{,}4 \ \ 4\text{,}8 \ \ 7\text{,}4 \ \ 8\text{,}1 \ \ 7\text{,}2}\) en \(\small{8\text{,}0}\)

Bereken in één decimaal nauwkeurig hoeveel je gemiddeld staat voor Frans.

\(\small{\text{gemiddelde}= \frac{6,2\ +\ 7,4\ +\ 4,8\ +\ 7,4\ +\ 8,1\ +\ 7,2\ +\ 8,0}{7} = \frac{49,1}{7} \approx 7,0}\)

Gewogen gemiddelde

Bij het berekenen van het gewogen gemiddelde telt een getal even vaak mee als zijn 'gewicht' aangeeft.

Voorbeeld
Voor geschiedenis heb je twee overhoringen (\(\small{7}\) en \(\small{8}\)) en één repetitie (\(\small{5\text{,}5}\)) gemaakt.
De repetitie geldt \(\small{3}\) keer zo zwaar als de overhoringen.

Bereken het gewogen gemiddelde in één decimaal nauwkeurig.

\(\small{\text{gemiddelde}= \frac{1\ \times\ 7\ +\ 1\ \times\ 8\ +\ 3\ \times\ 5\text{,}5}{5} = \frac{31\text{,}5}{5} = 6\text{,}3}\)
 

Frequentie en frequentieverdeling

Je bekijkt een reeks getallen. Het aantal keer dat een bepaald getal voorkomt noem je de frequentie van het getal.
Als de frequentie deelt door het totale aantal krijg je de relatieve frequentie.
Een frequentietabel is een tabel waarin de verschillende getallen uit de reeks met hun frequentie staan.
Je spreekt dan ook wel van een frequentieverdeling.

 

Voorbeeld
In een klas zijn de volgende afgeronde cijfers gehaald voor een proefwerk wiskunde.

\(\small{5,\ \ 5,\ \ 6,\ \ 6,\ \ 7,\ \ 7,\ \ 7,\ \ 5,\ \ 5,\ \ 8,}\)
\(\small{8,\ \ 8,\ \ 5,\ \ 5,\ \ 6,\ \ 6,\ \ 7,\ \ 7,\ \ 7,\ \ 8,}\)
\(\small{8,\ \ 8,\ \ 5,\ \ 6,\ \ 6,\ \ 7,\ \ 7,\ \ 7,\ \ 6,\ \ 6}\)

Met de cijfers is een frequentieverdeling gemaakt.
\(\small\text{cijfer}\) \(\small\text{frequentie}\) \(\small\text{rel. frequentie}\)
\(\small5\) \(\small7\) \(\small23\%\)
\(\small6\) \(\small8\) \(\small27\%\)
\(\small7\) \(\small9\) \(\small30\%\)
\(\small8\) \(\small6\) \(\small20\%\)
\(\small\text{totaal}\) \(\small30\) \(\small100\%\)

Klassen

Bij het werken met een reeks getallen is het soms handig om een klassenindeling te maken.

Voorbeeld

De leerlingen uit een klas hebben uitgerekend welk cijfer ze voor wiskunde staan.

De gemiddelden zijn afgerond op één cijfer achter de komma.

\(\small{2{,}6}\) \(\small{3{,}7}\) \(\small{4{,}8}\) \(\small{4{,}9}\) \(\small{5{,}6}\) \(\small{5{,}7}\) \(\small{5{,}9}\) \(\small{5{,}9}\) \(\small{6{,}0}\) \(\small{6{,}0}\)
\(\small{6{,}0}\) \(\small{6{,}5}\) \(\small{6{,}6}\) \(\small{6{,}6}\) \(\small{6{,}7}\) \(\small{6{,}7}\) \(\small{6{,}8}\) \(\small{7{,}0}\) \(\small{7{,}4}\) \(\small{7{,}7}\)
\(\small{7{,}7}\) \(\small{7{,}7}\) \(\small{7{,}9}\) \(\small{8{,}2}\) \(\small{8{,}4}\) \(\small{8{,}5}\) \(\small{8{,}8}\) \(\small{9{,}0}\) \(\small{9{,}2}\) \(\small{9{,}3}\)


Met de cijfers is een klassenindeling gemaakt.
De onderste klasse loopt van \(\small{2{,}5}\) tot \(\small{3{,}5}\). Het klassenmidden is \(\small{3}\).
De bovenste klasse loopt van \(\small{8{,}5}\) tot \(\small{9{,}5}\). Het klassenmidden is \(\small{9}\).
Iedere klasse heeft een klassenbreedte van \(\small{1}\).
Let op: het getal \(\small{6{,}5}\) behoort tot de klasse \(\small{6{,}5}\) tot \(\small{7{,}5}\).

\(\small\text{klasse}\) \(\small\text{turven}\) \(\small\text{frequentie}\)
\(\small2{,}5 \text{ tot } 3{,}5\) \(\small\text{I}\) \(\small1\)
\(\small3{,}5 \text{ tot } 4{,}5\) \(\small\text{I}\) \(\small1\)
\(\small4{,}5 \text{ tot } 5{,}5\) \(\small\text{II}\) \(\small2\)
\(\small5{,}5 \text{ tot }6{,}5\) \(\small\text{IIIII II}\) \(\small7\)
\(\small6{,}5 \text{ tot } 7{,}5\) \(\small\text{IIIII III}\) \(\small8\)
\(\small7{,}5 \text{ tot } 8{,}5\) \(\small\text{IIIII I}\) \(\small6\)
\(\small8{,}5 \text{ tot } 9{,}5\) \(\small\text{IIIII}\) \(\small5\)
\(\small\text{totaal}\)   \(\small30\)

Tellen

Tellen: boomdiagram

Een boomdiagram kan helpen bij het overzichtelijk weergeven van alle mogelijkheden van een telprobleem.

Voorbeeld

Een gezin heeft drie kinderen.
Je kijkt naar het geslacht van de kinderen.
Welke combinaties zijn er mogelijk?

  • Maak een boomdiagram.
  • In het boomdiagram zie je alle mogelijkheden.
  • Er zijn \(\small{8}\) verschillende combinaties mogelijk.

Tellen: tabel

Soms is een tabel een handig hulpmiddel bij het overzichtelijk weergeven van de mogelijkheden van een telprobleem.

Voorbeeld

Je gooit met twee dobbelstenen, een rode en een blauwe.
Welke combinaties zijn er mogelijk?

  • Maak een tabel.

  • In de tabel zie je alle mogelijkheden.
  • Er zijn \(\small{36}\) verschillende combinaties mogelijk.

Tellen: weegdiagram

Soms is een wegendiagram een handig hulpmiddel bij het tellen van de mogelijkheden.
In een wegendiagram vind je het aantal combinaties door de aantallen wegen met elkaar te vermenigvuldigen.

 

Voorbeeld

Je gaat uit eten. Je neemt een voorgerecht, een hoofdgerecht en een nagerecht.
Je hebt de keuze uit:
- \(\small{3}\) voorgerechten,
- \(\small{4}\) hoofdgerechten en
- \(\small{3}\) nagerechten.
Hoeveel combinaties zijn er mogelijk?

  • \(\small\text{voorgerecht}\) \(\small\text{hoofdgerecht}\) \(\small\text{nagerecht}\)
    Maak een wegendiagram.
  • Vermenigvuldig de aantallen wegen:
    Er zijn \(\small{3 \times 4 \times 3 = 36}\) mogelijke combinaties.