Goniometrie uitleg

Goniometrie uitleg

Wat is goniometrie

Goniometrie is een onderdeel van de wiskunde dat zich bezig houdt met de verhouding binnen driehoeken. Binnen het VMBO-GL/TL werken we alleen met rechthoekige driehoeken.

Met een verhouding bedoellen we  een vermenigvuldiging of een deling.
In een driehoek kun je namelijk ook deel of keersommen maken.

Zijden benoemen

Het eerste dat je moet leren wil je kunnen werken met goniometrie is het benoemen van de zijden binnen een rechthoekige driehoek.
 

Tijdens het werken met de stelling van Pythagoras heb je al eens een kijkoefening gedaan. Bij de stelling van Pythagoras werk je namelijk met twee zijden om een derde zijde uit te rekenen.
Je hebt toen geleerd dat een rechthoekige driehoek uit één schuine zijde en twee rechthoekzijden bestaat. (een rechthoekzijde zit vast aan de rechte hoek)

 

 

Bij Goniometrie werken we niet alleen met de zijden van de rechthoekige driehoek, maar ook met één van de hoeken. Werk je met zijden en graden binnen een rechthoekige driehoek, dan maak je een goniometrieberekening.

 

Omdat we ook werken met een hoek, gaan we de namen van de zijden een klein beetje veranderen:
De schuine zijde blijft de schuine zijde natuurlijk. Maar de rechthoekzijden daar komt een verschil tussen. Je hebt namelijk een zijde die vast zit aan de gevraagde hoek en aan de rechte hoek, dit noemen we de aanliggende rechthoekzijde.

 

Je hebt ook een zijde die tegenover de hoek ligt waar je mee werkt en aan de rechte hoek vast zit. Dit noemen we de overstaande rechthoekzijde.
Onderstaand filmpje maakt de uitleg hier boven een stuk begrijpelijker, kijk er dus goed naar.

Je kunt nu beginnen aan de opgaven van §1 zijden benoemen.

Hellingsgetal en hellingshoek

Bij iedere helling hoort een hellingshoek.
Hoe groter de hellingshoek, hoe steiler de helling.
Hoe steil een helling is, kun je aangeven met het hellingsgetal.

Het hellingsgetal bereken je door het
hoogteverschil te delen door de afstand die horizontaal
wordt afgelegd:

\(Hellinggetal = {Verticaal \over Horizontaal}\)

Rond het hellinggetal af op 3 decimalen.

 

Voorbeeld
Bereken het hellingsgetal van de hiernaast
getekende helling.

Bereken het hellingsgetal.

Hellingsgetal \(\angle K\) = \( {Verticaal \over horizontaal}\) = \({4 \over 6}\) \(\approx\) 0,667

 

 

Kijk je liever een filmpje over het hellingsgetal en het hellingspercentage. Klik dan op de link

 

Hellingspercentage berekenen.

Als je het hellingsgetal kunt berekenen, dan is de stap naar het hellingspercentage maar een kleine.
Het hellingspercentage berekenen we door de volgende formule toe te passen:

\(Hellingspercentage= {verticaal \over horizontaal} \times 100\)

Voorbeeld.

In de afbeelding hiernaast zie je een berg. De verticale afstand is 210 meter en de horizontale afstand is 840 meter. We gaan het hellingspercentage berekenen

\(Hellingspercentage = {verticaal \over horizontaal} {210 \over 840} \times 100 = 25,0\)%

Het hellingspercentage ronden we af op 1 decimaal.

Je kunt ook dit filmpje nog even bekijken.

Je kunt nu beginnen aan de opgaven van §2 hellingsgetal en hellingspercentage.

 

 

 

Stappenplan goniometrie

Om een goniometrie berekening goed uit te kunnen voeren maken we gebruik van het onderstaande stappenplan.

 

Stap 1 Maak een schets!
- Zet alle info uit de tekst in je schets.
Stap 2

Bepaal uit welke hoek je kijkt
- De hoek waarvan je de graden al weet
- De hoek die gevraagd wordt
- Je kijkt nooit uit de rechte hoek!
Stap 3

Benoem de zijden van de driehoek
Kies uit:
Aanliggende rechthoekzijde, Overstaande rechthoekzijde en Schuine zijde
Stap 4 Kies je hulpmiddel:

 
Stap 5 Schrijf je berekening volledig op.
- Rond goed af en controleer of je de vraag beantwoord hebt.


Leer bovenstaande vijf stappen uit je hoofd. Je kunt hier deze vijf stappen downloaden en in je schrift plakken. Iedere keer dat je even naar de vijf stappen kijkt is een keer dat je het herhaalt, het leert op die manier kun je straks de stappen uit je hoofd.

Het alleen kennen van deze vijf stappen is niet voldoende, je moet ze ook leren toepassen, met behulp van deze vijf stappen een berekening goed kunnen uitvoeren.

Hoeken berekenen

Hoe bereken je een onbekende hoek van een driehoek met behulp van goniometrie.
Belangrijk: Je past goniometrie alleen toe in rechthoekige driehoeken.

Stap 1: Maak een schets.

Hiernaast zie je een schets van een driehoek. Als er geen plaatje bij een vraag staat of het plaatje is onduidelijk, schets dan zelf een plaatje van de rechthoekige driehoek. Zet ook alle informatie uit de tekst bij je schets.

 

 

 

Stap 2: Bepaal uit welke hoek je kijkt.
Je kijkt vanuit de hoek die je moet berekenen, de hoek waar het vraagteken in staat.

 

 

 

 

 
 
Stap 3: Benoem de zijden van de rechthoekige driehoek.

Tegenover de rechte hoek vindt je de schuine zijde.
Aan de hoek die je weet zit de aanliggende rechthoekzijde vast.
Tegenover de hoek die je weet ligt de overstaande rechthoek zijde.

 

 

 

 
Stap 4: Bepaal je hulpmiddel.

In het  plaatje bij stap 3 kun je zien dat we de Aanliggende rechthoekzijde kennen. We weten ook de Schuine zijde. Met de overstaande rechthoekzijde doen we niks, deze weten we ook niet.

We kiezen dus voor CAS het knopje op de rekenmachine dat daarbij hoor is COS

 

 

 

 

 

 

Stap 5: Schrijf je berekening op

 

 

 We gebruiken de Aanliggende rechthoekzijde en de Schuine zijde we kiezen dus CAS

F:\(\cos \angle E = {Aanliggende rechthoekzijde \over Schuine zijde}\)

i: \(\cos. ?= {5 \over 16}\)

B:\(\cos^{-1} = {5 : 16} = 71,790 \approx 72^o\)

 

Schrijf je berekening netjes uit.
Rond je antwoord goed af.
Kijk of je ook echt de vraag hebt beantwoord.

 

* zijden ronden we af op 1 decimaal, hoeken op hele graden tenzij er staat dat je op een andere manier moet afronden natuurlijk.

 

Al het bovenstaande wordt nog eens samengevat in de volgende filmpjes:

 

 

Je kunt nu beginnen aan de opgaven van §3 hoeken berekenen.

Zijden berekenen

Hoe bereken je een onbekende zijde van een driehoek met behulp van goniometrie.
Belangrijk: Je past goniometrie alleen toe in rechthoekige driehoeken.

Stap 1: Maak een schets.

Hiernaast zie je een schets van een driehoek. Als er geen plaatje bij een vraag staat of het plaatje is onduidelijk, schets dan zelf een plaatje van de rechthoekige driehoek. Zet ook alle informatie uit de tekst bij je schets.

 

 
Stap 2: bepaal uit welke hoek je kijkt.

Je kijkt vanuit de hoek die gegeven is, waar de graden in staan.

 

 

 

 

 

 
Stap 3: Benoem de zijden van de rechthoekige driehoek.

Tegenover de rechte hoek vindt je de schuine zijde.
Aan de hoek die je weet zit de aanliggende rechthoekzijde vast.
Tegenover de hoek die je weet ligt de overstaande rechthoek zijde.
Zie het plaatje hieronder

 

 

 
Stap 4: Bepaal je hulpmiddel.​

In het  plaatje bij stap 3 kun je zien dat we de Aanliggende rechthoekzijde kennen.
De Overstaande rechthoekzijde wordt gevraagd, hier staat immers het vraagteken bij.
De Schuine zijde wordt niet gevraagd. Hier doen we niets mee.
We kiezen dus voor TOA de T is van het woordje TAN dit knopje vindt je op je rekenmachine.

 

 

 

 

 

 
Stap 5: Schrijf je berekening op.

We kiesen voor TOA.

Schrijf je berekening volledig op.
Rond je antwoord netjes af.
Kijk of je ook echt de vraag hebt beantwoord.

 

* zijden ronden we af op 1 decimaal, hoeken op hele graden tenzij er staat dat je op een andere manier moet afronden natuurlijk.

 

 

 

Al het bovenstaande wordt nog eens samengevat in de volgende filmpjes:

Je kunt nu beginnen aan de opgaven die horen bij §4 zijden berekenen.

Goniometrie in de ruimte

Hoe bereken je een hoek of een zijde in een ruimtefiguur?

Voordat je aan deze paragraaf kunt beginnen moet je de paragrafen over het berekenen van een hoek en van een zijde in een vlakke figuur goed hebben afgerond.


Goniometrie kun je ook toepassen in een ruimtefiguur. De meest voorkomende ruimte figuren waarin we dit gaan oefenen zijn: balk, kubus en piramide.

 

Het toepassen van een goniometrische verhouding in een ruimtefiguur wordt vooraf gegaan door een aantal korte stappen.

Stap 1: Zoek een geschikte rechthoekige driehoek of een dwarsdoorsnede (vlak).

Stap 2: Schets de driehoek of het vlak zelf in je schrift, dan heb je beter overzicht van wat je moet berekenen en hoe je dit moet doen.

Stap 3: Kijk of alle benodigde lengtes van de ribben bekend zijn die nodig zijn om met een goniometrische verhouding de hoek te berekenen (gebruik  SOS/CAS/TOA). Als dit niet zo is, bereken dan eerst de lengte van een benodigde zijde (Pythagoras).

Stap 4: Gebruik een goniometrische verhouding om de hoek te berekenen.

Het makkelijkst is om een duidelijke aantekening te maken zodra de docent het onderdeel met je doorneemt, of om zelf de onderstaande filmpje rustig te bekijken. Teken dan ook mee met het filmpje. Kijk eerst het filmpje helemaal en daarna in stukjes zodat je rustig mee kunt tekenen en denken met het voorbeeld.

Hoeken berekenen in een balk

Hoeken berekenen in een balk (2)

Hoeken berekenen in een piramide