17. Pythagoras

17. Pythagoras

17 Intro

Opgave 1

17.1 Rechthoekige driehoeken

Opgave 2

Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5

Opgave 6

Opgave 7

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Opgave 11

17.2 De stelling van Pythagoras

Opgave 12

Opgave 13

Stelling van Pythagoras

De driehoeken die je bij opgave 13d opgeschreven hebt zijn rechthoekig. Alle rechthoekige driehoeken hebben namelijk de eigenschap dat de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de vierkanten op de rechthoekszijden. Deze eigenschap staat bekend als de stelling van Pythagoras.

Een bewijs van de stelling van Pythagoras berust op de legpuzzel uit opgave 1c. We laten nu in het midden hoe groot de lengtes van de zijden van de rechthoekige driehoeken zijn. We duiden ze aan met letters, of beter gezegd met variabelen.

In de tekening zie je twee even grote vierkanten met zijden \(a+b\).

 

 

 

 

 

 

 

 

Het linker vierkant is verdeeld in één vierkant met zijden \(a\), één vierkant met zijden \(b\) en vier rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden \(a\) en \(b\) en schuine zijde \(c\).
Het rechter vierkant is verdeeld in één vierkant met zijden \(c\) en vier rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden \(a\) en \(b\) en schuine zijde \(c\).

De rechthoekige driehoeken zijn allemaal even groot. Laten we deze weg, dan houden we twee figuren over die nog steeds dezelfde oppervlakte hebben.

 

 

 

 

 

 

 

 

De figuur links bestaat uit de twee vierkanten op de rechthoekszijden.
De figuur rechts bestaat uit het vierkant op de schuine zijde.

We vinden het volgende verband.

In een rechthoekige driehoek geldt: de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is gelijk aan de som van de oppervlaktes van de vierkanten op de rechthoekszijden.
In het plaatje:
oppervlakte I + oppervlakte II = oppervlakte III.
Deze eigenschap heet de stelling van Pythagoras.
We kunnen de stelling van Pythagoras ook als volgt formuleren.
Noemen we de rechthoekszijden van de driehoek \(a\) en \(b\) en de schuine zijde \(c\), dan geldt:
\(a^2+b^2=c^2\).

Let op:
de stelling van Pythagoras geldt alleen voor rechthoekige driehoeken.

 

De Griek Pythagoras leefde in de zesde eeuw v. Chr. De jaren van zijn geboorte en sterfte zijn niet precies bekend. Pythagoras stichtte zijn eigen school in Croton (Zuid-Italie), waar hij en zijn volgelingen, pythagoreeërs genaamd, zich bezighielden met religieuze en ethische vraagstukken en het beoefenen van wiskunde, muziektheorie en astronomie.
De stelling die aan Pythagoras wordt toegeschreven, was al aan de Babyloniërs bekend. Maar het is mogelijk dat de pythagoreeërs de eerste waren die er een bewijs voor hadden. Voor de stelling van Pythagoras bestaan tegenwoordig heel veel bewijzen. Zo publiceerde Elisha Scott Loomis in 1940 The Pythagorean Proposition met 367 verschillende bewijzen.

In de applet "Pythagoras Theorem" wordt de stelling van Pythagoras bewezen.

 

Opgave 14

Opgave 15

Opgave 16

Opgave 17

Opgave 18

17.3 Recht of niet?

Opgave 19

Opgave 20

Opgave 21

17.4 Wortels

Opgave 22

Opgave 23

Opgave 24

Opgave 25

Opgave 26

Opgave 27

Opgave 28

17.5 Speciale driehoeken

Opgave 29

Opgave 30

Opgave 31

17.6 De ruimte in

Opgave 32

Opgave 33

Opgave 34

Opgave 35

Opgave 36

Opgave 37

Opgave 38

17.7 Gemengde opgaven

Opgave 39

Opgave 40

Opgave 41

Opgave 42

Opgave 43

Opgave 44

Opgave 45

Opgave 46

Opgave 47

Opgave 48

Opgave 49

17.8 Eindpunt

Rechthoekige driehoeken

Een driehoek met een rechte hoek heet een rechthoekige driehoek.

De zijden die samen de rechte hoek vormen, worden de rechthoekszijden genoemd. De zijde tegenover de rechte hoek heet de schuine zijde van de rechthoekige driehoek. De schuine zijde wordt ook wel hypotenusa genoemd.

de stelling van Pythagoras

In een rechthoekige driehoek geldt: de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is gelijk aan de som van de oppervlaktes van de vierkanten op de rechthoekszijden.

Deze eigenschap heet de stelling van Pythagoras.

recht of niet?

De lengten van de zijden van een driehoek noemen we \(a, b\) en \(c\).
Als \(a^2+b^2=c^2\), dan is de hoek tegenover de zijde van lengte \(c\) recht.
Als \(a^2+b^2<c^2\), dan is de hoek tegenover de zijde van lengte \(c\) stomp.
Als \(a^2+b^2>c^2\), dan is de hoek tegenover de zijde van lengte \(c\) scherp.

wortels

Het getal waarvan het kwadraat 19 is, is irrationaal. We noemen dit getal de wortel van 19 en noteren het met \(\sqrt{19}\).

Dus \((\sqrt{19})^2=19\).

Wortels kun je op je rekenmachine benaderen met de worteltoets. Meestal is het antwoord niet precies.

\(\sqrt{19}\) benader je door in te toetsen 19.
\(\sqrt{19}≈4,36\).

Je kunt wortels ook schatten.

Zo geldt: \(\sqrt{19}>\sqrt{16}\) en \(\sqrt{19}<\sqrt{25}\).

Dus \(\sqrt{19}\) ligt tussen de 4 en 5.

speciale driehoeken

In een \(30º-60º-90º-\)driehoek verhouden de lengten van de zijden zich als \(1:\sqrt3:2\).





 

In een \(45º-45º-90º-\)driehoek verhouden de lengten van de zijden zich als \(1:1:\sqrt2\).

de stelling van Pythagoras in de ruimte

Voor de lengte \(d\) van een lichaamsdiagonaal in een balk met ribben van lengte \(a,b\) en \(c\) geldt:

\(d^2=a^2+b^2+c^2\).

17.9 Extra opgaven

Opgave 1

Opgave 2

Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5

Opgave 6

Opgave 7

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Opgave 11

Opgave 12

Opgave 13

Oker

Opgave 3-S

Opgave 6-S

Opgave 10-S

Opgave 16-S

Opgave 20-S

Opgave 26-S

Opgave 27-S

Opgave 31-S

Opgave 35-S

Opgave 36-S

Opgave 40-S

Opgave 42-S

Opgave 45-S

Opgave 47-S

  • Het arrangement 17. Pythagoras is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2018-07-22 20:40:02
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 2. De volgende onderdelen worden behandeld: rechthoekige driehoeken, de stelling van Pythagoras, rechthoekig, wortels en speciale driehoeken.
    Leerniveau
    VWO 2; HAVO 1; VWO 1; HAVO 3; VWO 3; HAVO 2;
    Leerinhoud en doelen
    Vaktaal hoeken en symbolen; Rekenen/wiskunde; Rekenen in de meetkunde; Meten en meetkunde;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, pythagoras, rechthoekige driehoeken, scherphoekig, speciale driehoek, stercollectie, stompe hoek, vwo 2, wiskunde, wortels

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Leermateriaal, StudioVO. (z.d.).

    importeervragen

    https://maken.wikiwijs.nl/116579/importeervragen

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (2017).

    17. Pythagoras

    https://maken.wikiwijs.nl/112962/17__Pythagoras

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Meer informatie voor ontwikkelaars

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van